Задача номер 19 на ЕГЭ по базовой математике — это задачи на нахождение чисел с определёнными свойствами. Вам нужно найти натуральное число, которое удовлетворяет сразу нескольким условиям: делится на какое-то число, имеет определённые цифры, или обладает другими математическими свойствами. За правильное решение этой задачи вы получаете 1 балл.
Эти задачи развивают умение анализировать условия, применять признаки делимости и логически подбирать ответы. Они не требуют сложных вычислений, но нужно быть внимательным и систематичным.
Чтобы быстро проверить, делится ли число на какой-то делитель, используют признаки делимости:
Чтобы решить задачу на поиск числа с определёнными свойствами, следуйте этим шагам:
Задача: Найдите четырёхзначное число, кратное 25, все цифры которого различны и нечётны.
Решение:
Шаг 1. Определим свойства числа.
Число четырёхзначное (от 1000 до 9999).
Кратно 25 — значит, оканчивается на 00, 25, 50 или 75.
Все цифры различны и нечётны. Нечётные цифры: 1, 3, 5, 7, 9.
Шаг 2. Применим условие кратности 25 к нечётным цифрам.
Поскольку все цифры нечётные, число не может оканчиваться на 00 (ноль — чётный) или 50 (ноль — чётный).
Число не может оканчиваться на 25, потому что 2 — чётная цифра.
Остаётся только 75: число оканчивается на 75.
Шаг 3. Сформируем число.
Число имеет вид $\overline{ab75}$, где $a$ и $b$ — первая и вторая цифры.
Осталось выбрать две различные нечётные цифры из множества $\{1, 3, 9\}$ (5 и 7 уже использованы).
Шаг 4. Выберем цифры.
Пусть $a = 1$ и $b = 3$. Получаем число 1375.
Проверим:
— четырёхзначное: ✓
— кратно 25: $1375 \div 25 = 55$ ✓
— цифры различны (1, 3, 7, 5): ✓
— все нечётные: ✓
Ответ: 1375.
Максимальный балл: 1
Задача:
Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 25, все цифры которого различны и нечётны.
В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
Решение:
Шаг 1: Определим свойства числа.
Число должно быть четырёхзначным (от 1000 до 9999).
Число должно быть кратно 25 — оканчивается на 00, 25, 50 или 75.
Все цифры различны.
Все цифры нечётные: 1, 3, 5, 7, 9.
Шаг 2: Применим условие кратности 25 к нечётным цифрам.
Поскольку все цифры нечётные, число не может оканчиваться на 00 или 50 (0 — чётная).
Число не может оканчиваться на 25 (2 — чётная).
Число должно оканчиваться на 75.
Шаг 3: Сформируем число.
Число имеет вид $\overline{ab75}$.
Оставшиеся нечётные цифры: 1, 3, 9.
Шаг 4: Выберем цифры для первых двух позиций.
Пусть $a = 1$, $b = 3$. Число: 1375.
Проверка:
— четырёхзначное: да ✓
— кратно 25: $1375 \div 25 = 55$ ✓
— цифры различны: 1, 3, 7, 5 ✓
— все нечётные: ✓
Ответ: 1375 (или другие подходящие варианты: 1395, 1935, 3175, 3195, 3915, 3975, 9135, 9175, 9315, 9375).
Максимальный балл: 1
Задача:
Найдите трёхзначное число, кратное 11, все цифры которого различны,
а сумма квадратов цифр делится на 4, но не делится на 16.
В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решение:
Шаг 1: Обозначим число как $\overline{abc}$, где $a, b, c$ — различные цифры, $a \neq 0$.
Шаг 2: Условие кратности 11.
Число делится на 11, если знакопеременная сумма цифр делится на 11: $a - b + c \equiv 0 \pmod{11}$.
Возможные значения: $a - b + c \in \{-11, 0, 11\}$.
Шаг 3: Условие на сумму квадратов.
$a^2 + b^2 + c^2 \equiv 0 \pmod{4}$ (делится на 4).
$a^2 + b^2 + c^2 \not\equiv 0 \pmod{16}$ (не делится на 16).
Шаг 4: Анализ квадратов цифр по модулю 4.
Чётные цифры (0, 2, 4, 6, 8): квадрат $\equiv 0 \pmod{4}$.
Нечётные цифры (1, 3, 5, 7, 9): квадрат $\equiv 1 \pmod{4}$.
Шаг 5: Чтобы сумма квадратов делилась на 4, нужно чётное количество нечётных цифр (0 или 2).
Шаг 6: Рассмотрим случай $a - b + c = 0$, то есть $a + c = b$.
Пусть $a = 2$, $c = 4$, тогда $b = 6$. Число: 264.
Проверка кратности 11: $2 - 6 + 4 = 0$ ✓
Сумма квадратов: $2^2 + 6^2 + 4^2 = 4 + 36 + 16 = 56$.
$56 \div 4 = 14$ (делится на 4) ✓
$56 \div 16 = 3.5$ (не делится на 16) ✓
Ответ: 264 (или другие подходящие варианты).
Максимальный балл: 1
Задача:
Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 1000, но меньшее 1700,
которое делится на 45 и сумма цифр которого равна 18.
В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решение:
Шаг 1: Определим условия.
Число четырёхзначное, $1000 < N < 1700$.
$N$ делится на 45.
Сумма цифр равна 18.
Шаг 2: Разложим 45 на множители.
$45 = 5 \times 9$. Число должно делиться на 5 и на 9 одновременно.
Шаг 3: Признак делимости на 5.
Число оканчивается на 0 или 5.
Шаг 4: Признак делимости на 9.
Сумма цифр делится на 9. По условию, сумма цифр равна 18, и $18 \div 9 = 2$ ✓
Шаг 5: Диапазон числа.
Первая цифра: 1.
Вторая цифра: от 0 до 6 (так как число $< 1700$).
Шаг 6: Составим уравнение для суммы цифр.
Число имеет вид $\overline{1abc}$.
$1 + a + b + c = 18 \Rightarrow a + b + c = 17$.
Шаг 7: Рассмотрим случай $c = 5$ (число оканчивается на 5).
$a + b + 5 = 17 \Rightarrow a + b = 12$.
Шаг 8: Подберём пары $(a, b)$ где $a \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ и $b \in \{0, 1, ..., 9\}$.
Если $a = 3$, $b = 9$: число 1395.
Проверка: $1 + 3 + 9 + 5 = 18$ ✓, $1395 \div 45 = 31$ ✓
Ответ: 1395 (или другие подходящие варианты: 1485, 1575, 1665).
Максимальный балл: 1
Задача:
Четырёхзначное число $A$ состоит из цифр 0, 3, 5, 8,
а четырёхзначное число $B$ — из цифр 0, 1, 6, 7.
Известно, что $B = 2A$.
Найдите число $A$.
В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решение:
Шаг 1: Определим возможные первые цифры.
Для $A$: первая цифра может быть 3, 5 или 8 (не 0).
Для $B$: первая цифра может быть 1, 6 или 7 (не 0).
Шаг 2: Используем условие $B = 2A$.
Так как $B$ — четырёхзначное число, то $1000 \leq 2A < 10000$, откуда $500 \leq A < 5000$.
Следовательно, первая цифра $A$ может быть только 3 (так как $5 \times 2 = 10000$ — пятизначное).
Шаг 3: Последняя цифра $B$ чётная.
Из цифр $\{0, 1, 6, 7\}$ чётные: 0 и 6.
Последняя цифра $B$ — это $2 \times (\text{последняя цифра } A) \pmod{10}$.
Шаг 4: Определим последнюю цифру $A$.
Если последняя цифра $B$ равна 0: последняя цифра $A$ равна 0 или 5.
Если последняя цифра $B$ равна 6: последняя цифра $A$ равна 3 или 8.
Шаг 5: Перебираем возможные числа.
$A = 3580$: $B = 2 \times 3580 = 7160$. Цифры: 7, 1, 6, 0 ✓
$A = 3085$: $B = 2 \times 3085 = 6170$. Цифры: 6, 1, 7, 0 ✓
$A = 3805$: $B = 2 \times 3805 = 7610$. Цифры: 7, 6, 1, 0 ✓
$A = 3508$: $B = 2 \times 3508 = 7016$. Цифры: 7, 0, 1, 6 ✓
Ответ: 3580 (или другие подходящие варианты: 3085, 3805, 3508).
Максимальный балл: 1
Задача:
Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 5
и делится на 45. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
Решение:
Шаг 1: Условия делимости на 45.
$45 = 5 \times 9$. Число должно делиться на 5 и на 9.
Шаг 2: Делимость на 5.
Число оканчивается на 0 или 5. Так как число состоит только из 1 и 5, оно оканчивается на 5.
Шаг 3: Делимость на 9.
Сумма цифр должна делиться на 9.
Пусть количество единиц равно $k$, количество пятёрок равно $6 - k$.
Сумма цифр: $1 \cdot k + 5 \cdot (6 - k) = k + 30 - 5k = 30 - 4k$.
Шаг 4: Найдём $k$ такое, что $30 - 4k \equiv 0 \pmod{9}$.
$30 - 4k = 9m$ для некоторого натурального $m$.
Если $k = 3$: $30 - 12 = 18$, и $18 \div 9 = 2$ ✓
Шаг 5: Сформируем число.
Три единицы и три пятёрки, последняя цифра — 5.
Например: 111555.
Проверка:
— шестизначное: ✓
— состоит из 1 и 5: ✓
— последняя цифра 5 (делится на 5): ✓
— сумма цифр $1+1+1+5+5+5 = 18$ (делится на 9): ✓
— $111555 \div 45 = 2479$ ✓
Ответ: 111555 (или другие подходящие варианты: 115155, 115515, 151155, 151515, 155115, 511155, 511515, 515115, 515511, 551115, 551151, 551511, 555111).
Максимальный балл: 1
Задача:
Вычеркните в числе 35242345 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12.
В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.
Решение:
Шаг 1: Условия делимости на 12.
$12 = 3 \times 4$. Число должно делиться на 3 и на 4.
Шаг 2: Делимость на 3.
Сумма цифр должна делиться на 3.
Шаг 3: Делимость на 4.
Две последние цифры должны образовать число, кратное 4.
Шаг 4: Исходное число: 35242345.
Сумма цифр: $3 + 5 + 2 + 4 + 2 + 3 + 4 + 5 = 28$.
$28 \div 3$ не целое. Нужно вычеркнуть цифры так, чтобы сумма делилась на 3.
Шаг 5: Если вычеркнуть три цифры, сумма уменьшится на сумму этих цифр.
$28 - \text{(сумма вычеркнутых цифр)} \equiv 0 \pmod{3}$.
$28 \equiv 1 \pmod{3}$. Нужно вычеркнуть цифры, сумма которых $\equiv 1 \pmod{3}$.
Шаг 6: Попробуем вычеркнуть цифры 5, 3, 5 (первую, последнюю и ещё одну).
Сумма вычеркнутых: $5 + 3 + 5 = 13 \equiv 1 \pmod{3}$ ✓
Оставшееся число: 32424.
Сумма цифр: $3 + 2 + 4 + 2 + 4 = 15$, и $15 \div 3 = 5$ ✓
Шаг 7: Проверим делимость на 4.
Две последние цифры: 24. $24 \div 4 = 6$ ✓
Проверка: $32424 \div 12 = 2702$ ✓
Ответ: 32424.
Задача номер 19 требует от вас умения применять признаки делимости и логически подбирать числа. Главное — внимательно прочитать все условия, систематично перебрать варианты и проверить ответ. Эти навыки помогут вам не только на экзамене, но и в решении практических задач, связанных с числами.
Помните: не нужно спешить. Лучше потратить время на проверку, чем получить неправильный ответ.