Пример 1: Показательные неравенства
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
| НЕРАВЕНСТВА | РЕШЕНИЯ | ||
|---|---|---|---|
| А) | $2^x \geq 2$ | 1) | $x \geq 1$ |
| Б) | $0{,}5^x \geq 2$ | 2) | $x \leq 1$ |
| В) | $0{,}5^x \leq 2$ | 3) | $x \leq -1$ |
| Г) | $2^x \leq 2$ | 4) | $x \geq -1$ |
Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий номер решения.
Решение:
Шаг 1: Решим неравенство А) $2^x \geq 2$.
Перепишем $2$ как $2^1$. Получаем $2^x \geq 2^1$.
Так как основание степени $2 > 1$, функция $y = 2^x$ является возрастающей.
Это означает, что если $2^a \geq 2^b$, то $a \geq b$.
Применяя это свойство, получаем $x \geq 1$.
Соответствие: А → 1
Шаг 2: Решим неравенство Б) $0{,}5^x \geq 2$.
Перепишем $0{,}5$ как $\dfrac{1}{2}$ или $2^{-1}$. Перепишем $2$ как $2^1$.
Неравенство принимает вид $(2^{-1})^x \geq 2^1$.
Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $2^{-x} \geq 2^1$.
Так как основание степени $2 > 1$, функция $y = 2^x$ является возрастающей.
Применяя это свойство, получаем $-x \geq 1$.
Умножим обе части неравенства на $-1$ и смените знак неравенства на противоположный: $x \leq -1$.
Соответствие: Б → 3
Шаг 3: Решим неравенство В) $0{,}5^x \leq 2$.
Перепишем $0{,}5$ как $2^{-1}$. Перепишем $2$ как $2^1$.
Неравенство принимает вид $(2^{-1})^x \leq 2^1$.
Используя свойство степеней, получаем $2^{-x} \leq 2^1$.
Так как основание степени $2 > 1$, получаем $-x \leq 1$.
Умножим обе части на $-1$ и сменим знак: $x \geq -1$.
Соответствие: В → 4
Шаг 4: Решим неравенство Г) $2^x \leq 2$.
Перепишем $2$ как $2^1$. Получаем $2^x \leq 2^1$.
Так как основание степени $2 > 1$, функция возрастает, поэтому $x \leq 1$.
Соответствие: Г → 2
Ответ (таблица соответствия):
| А | Б | В | Г |
|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 4 | 2 |
Пример 2: Смешанные неравенства (логарифм, показатель, рациональные)
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
Установите соответствие и впишите ответ. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце.
| НЕРАВЕНСТВА | РЕШЕНИЯ | ||
|---|---|---|---|
| А) | $\log_2 x > 0$ | 1) | $(-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$ |
| Б) | $2^{-x} > 2$ | 2) | $(1; +\infty)$ |
| В) | $\dfrac{x}{x-1} < 0$ | 3) | $(-\infty; -1)$ |
| Г) | $\dfrac{1}{x(x-1)} > 0$ | 4) | $(0; 1)$ |
Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий решению номер.
Решение (пошагово)
Шаг 1. Для неравенства А) $\log_2 x > 0$:
Вспомним: $\log_2 x = 0$ означает $x = 2^0 = 1$.
Так как $\log_2 x > 0$, то $x > 1$ (область определения: $x > 0$).
Получаем решение $(1; +\infty)$.
Это пункт 2.
Шаг 2. Для неравенства Б) $2^{-x} > 2$:
Основание $2 > 1$, функция возрастает, значит $2^{-x} > 2^1 \Rightarrow -x > 1 \Rightarrow x < -1$.
Решение: $(-\infty; -1)$.
Это пункт 3.
Шаг 3. Для неравенства В) $\dfrac{x}{x-1} < 0$:
Критические точки: $x = 0$ (нуль числителя), $x = 1$ (знаменатель, разрыв).
Знаки по промежуткам:
• На $(-\infty; 0)$: возьмём $x = -1$. Дробь: $\dfrac{-1}{-2} = \dfrac{1}{2} > 0$ — не подходит.
• На $(0; 1)$: возьмём $x = 0{,}5$. Дробь: $\dfrac{0{,}5}{-0{,}5} = -1 < 0$ — подходит!
• На $(1; +\infty)$: возьмём $x = 2$. Дробь: $\dfrac{2}{1} = 2 > 0$ — не подходит.
Итак, $(0; 1)$.
Это пункт 4.
Шаг 4. Для неравенства Г) $\dfrac{1}{x(x-1)} > 0$:
Знак дроби определяется знаком произведения $x(x-1)$ в знаменателе.
Критические точки: $0$ и $1$.
• На $(-\infty; 0)$: $x < 0$, $x-1 < 0$ → произведение $> 0$ → дробь $> 0$ — подходит!
• На $(0; 1)$: $x > 0$, $x-1 < 0$ → произведение $< 0$ → дробь $< 0$ — не подходит.
• На $(1; +\infty)$: $x > 0$, $x-1 > 0$ → произведение $> 0$ → дробь $> 0$ — подходит!
Итак, $(-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.
Это пункт 1.
Ответ (таблица соответствия):
| А | Б | В | Г |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 4 | 1 |
Пример 3: Неравенства со степенями и рациональные дроби
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
Установите соответствие и впишите ответ. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце.
| НЕРАВЕНСТВА | РЕШЕНИЯ | ||
|---|---|---|---|
| А) | $(x-1)^2(x-5) < 0$ | 1) | $(-\infty; 1) \cup (1; 5)$ |
| Б) | $(x-1)(x-5) < 0$ | 2) | $(1; 5)$ |
| В) | $\dfrac{x-1}{x-5} > 0$ | 3) | $(1; 5) \cup (5; +\infty)$ |
| Г) | $\dfrac{(x-5)^2}{x-1} > 0$ | 4) | $(-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$ |
Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий решению номер.
Решение (пошагово)
Шаг 1. Неравенство А) $(x-1)^2(x-5) < 0$:
Квадрат $(x-1)^2 \geq 0$ и равен нулю только при $x = 1$.
Чтобы произведение было отрицательно, нужно:
• $(x-1)^2 > 0$ (то есть $x \neq 1$)
• И $(x-5) < 0$ (то есть $x < 5$)
Итак, $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 5)$.
Это пункт 1.
Шаг 2. Неравенство Б) $(x-1)(x-5) < 0$:
Корни: $x = 1$ и $x = 5$.
При положительном коэффициенте перед $x^2$ выражение отрицательно между корнями.
Итак, $x \in (1; 5)$.
Это пункт 2.
Шаг 3. Неравенство В) $\dfrac{x-1}{x-5} > 0$:
Точки разбиения: $x = 1$ (числитель = 0), $x = 5$ (знаменатель = 0, исключаем).
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:
• На $(-\infty; 1)$: оба отрицательны → дробь $> 0$ — подходит.
• На $(1; 5)$: числитель $> 0$, знаменатель $< 0$ → дробь $< 0$ — не подходит.
• На $(5; +\infty)$: оба положительны → дробь $> 0$ — подходит.
Итак, $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.
Это пункт 4.
Шаг 4. Неравенство Г) $\dfrac{(x-5)^2}{x-1} > 0$:
$(x-5)^2 \geq 0$, равно 0 при $x = 5$ (тогда вся дробь = 0, не подходит).
Знак дроби определяется знаком знаменателя $x-1$, при этом $x \neq 5$.
Требуется $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$ и $x \neq 5$.
Итак, $x \in (1; 5) \cup (5; +\infty)$.
Это пункт 3.
Ответ (таблица соответствия):
| А | Б | В | Г |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 4 | 3 |
Пример 4: Показательные неравенства (второй вариант)
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
| НЕРАВЕНСТВА | РЕШЕНИЯ | ||
|---|---|---|---|
| А) | $2^x \geq 2$ | 1) | $[1; +\infty)$ |
| Б) | $0{,}5^x \geq 2$ | 2) | $(-\infty; 1]$ |
| В) | $0{,}5^x \leq 2$ | 3) | $(-\infty; -1]$ |
| Г) | $2^x \leq 2$ | 4) | $[-1; +\infty)$ |
Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий решению номер.
Решение (пошагово)
Шаг 1. А) $2^x \geq 2 = 2^1$.
Основание $2 > 1$ (возрастающая функция) → $x \geq 1$.
Ответ: $[1; +\infty)$ → пункт 1.
Шаг 2. Б) $0{,}5^x \geq 2$.
Запишем $0{,}5 = 2^{-1}$: $2^{-x} \geq 2^1$.
При $2 > 1$ получаем $-x \geq 1$ → $x \leq -1$.
Ответ: $(-\infty; -1]$ → пункт 3.
Шаг 3. В) $0{,}5^x \leq 2$.
То же представление: $2^{-x} \leq 2^1$ → $-x \leq 1$ → $x \geq -1$.
Ответ: $[-1; +\infty)$ → пункт 4.
Шаг 4. Г) $2^x \leq 2 = 2^1$.
При основании $2 > 1$: $x \leq 1$.
Ответ: $(-\infty; 1]$ → пункт 2.
Ответ (таблица соответствия):
| А | Б | В | Г |
|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 4 | 2 |
Пример 5: Координатная прямая и вычисление выражений
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Число $m$ равно $\log_2 5$. Установите соответствие между указанными точками и числами в правом столбце, которые им соответствуют.
| ТОЧКИ | ЧИСЛА | ||
|---|---|---|---|
| $A$ | 1) | $m - 2$ | |
| $B$ | 2) | $m^2$ | |
| $C$ | 3) | $4 - m$ | |
| $D$ | 4) | $\dfrac{6}{m}$ | |
На координатной прямой изображены точки:
В таблице для каждой точки укажите номер соответствующего числа.
Решение (пошагово)
Дано: $m = \log_2 5 \approx 2{,}322$ (так как $2^{2{,}322} \approx 5$).
Шаг 1. Вычислим ориентировочные значения выражений:
-
$m - 2 \approx 2{,}322 - 2 = 0{,}322$ — число чуть больше нуля, слева от 1.
Соответствует точке A. -
$4 - m \approx 4 - 2{,}322 = 1{,}678$ — число между 1 и 2, ближе к 2.
Соответствует точке B. -
$\dfrac{6}{m} \approx \dfrac{6}{2{,}322} \approx 2{,}585$ — число между 2 и 3, ближе к 3.
Соответствует точке C. -
$m^2 \approx (2{,}322)^2 \approx 5{,}395$ — число между 5 и 6.
Соответствует точке D.
Соответствия:
- A → $m - 2$ (№ 1)
- B → $4 - m$ (№ 3)
- C → $\dfrac{6}{m}$ (№ 4)
- D → $m^2$ (№ 2)
Ответ (таблица):
| А | Б | В | Г |
|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 4 | 2 |