Задача номер 17 на ЕГЭ по базовой математике — это уравнения разных типов. Здесь нужно найти корень (или корни) уравнения и правильно выбрать ответ. За решение этой задачи вы получите 1 балл. Это одна из самых важных задач, потому что умение решать уравнения нужно везде!
1. Линейные уравнения
Это самые простые уравнения, где переменная \(x\) стоит в первой степени.
Форма: \(ax + b = c\)
Пример: \(2x + 5 = 11\)
2. Квадратные уравнения
Уравнения, где переменная \(x\) стоит во второй степени.
Форма: \(ax^2 + bx + c = 0\)
Пример: \(x^2 - 9x = -20\)
3. Уравнения со степенями (показательные)
Уравнения, где переменная находится в показателе степени.
Форма: \(a^{f(x)} = b\)
Пример: \(3^{2x-6} \cdot 3^{7-x} = 81\)
4. Иррациональные уравнения (с корнями)
Уравнения, где переменная стоит под знаком корня.
Форма: \(\sqrt{f(x)} = a\)
Пример: \(\sqrt{6x+13}=11\)
Шаг 1: Внимательно прочитайте условие задачи. Определите тип уравнения.
Шаг 2: Выберите подходящий метод решения (см. примеры типов выше).
Шаг 3: Решите уравнение пошагово, выполняя одинаковые операции с обеими частями уравнения.
Шаг 4: Если получилось несколько корней, прочитайте условие ещё раз — может быть, нужно выбрать больший или меньший.
Шаг 5: Проверьте ответ, подставив его обратно в исходное уравнение.
Правило 1: Равносильные преобразования
Если мы делаем одну и ту же операцию с левой и правой частями уравнения, оно остаётся верным.
Например: прибавить одно число, вычесть, умножить, разделить.
Правило 2: Перенос слагаемых
Когда переносим число через знак равенства, меняем его знак на противоположный.
Пример: \(x + 5 = 10\) становится \(x = 10 - 5\)
Правило 3: Раскрытие скобок
Используем распределительное свойство: \(a(b + c) = ab + ac\)
Правило 4: Приведение подобных членов
Складываем или вычитаем члены, которые содержат одинаковую переменную.
Пример: \(3x + 5x = 8x\)
Для квадратных уравнений:
Дискриминант: \(D = b^2 - 4ac\)
Корни: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
Для степеней:
Произведение степеней: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
Для корней:
При возведении обеих частей в квадрат: \((\sqrt{x})^2 = x\)
Задача: Найдите корень уравнения \(8(6+x)+2x=8\)
Решение:
Шаг 1: Раскроем скобки в левой части уравнения, используя распределительное свойство \(a(b+c) = ab + ac\).
\[ 8(6+x)+2x=8 \] \[ 8 \cdot 6 + 8 \cdot x + 2x = 8 \] \[ 48 + 8x + 2x = 8 \]
Шаг 2: Приведём подобные слагаемые. Подобные — это \(8x\) и \(2x\).
\[ 48 + (8x + 2x) = 8 \] \[ 48 + 10x = 8 \]
Шаг 3: Перенесём число 48 из левой части в правую, меняя знак на противоположный.
\[ 10x = 8 - 48 \] \[ 10x = -40 \]
Шаг 4: Разделим обе части на 10, чтобы найти \(x\).
\[ x = \frac{-40}{10} = -4 \]
Шаг 5: Проверим ответ, подставив \(x = -4\) в исходное уравнение.
\[ 8(6+(-4))+2(-4) = 8(2) - 8 = 16 - 8 = 8 \checkmark \]
Ответ: \(x = -4\)
Максимальный балл: 1
Задача:
\[ \text{Найдите корень уравнения } 8(6+x)+2x=8. \]
Решение:
Шаг 1: Раскроем скобки в левой части уравнения, используя распределительное свойство умножения относительно сложения: \(a(b+c) = ab + ac\).
\[ 8(6+x)+2x=8 \] \[ 8 \cdot 6 + 8 \cdot x + 2x = 8 \] \[ 48 + 8x + 2x = 8 \]
Шаг 2: Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения. Подобными являются слагаемые, содержащие одинаковую переменную с одинаковой степенью. В данном случае это \(8x\) и \(2x\).
\[ 48 + (8x + 2x) = 8 \] \[ 48 + 10x = 8 \]
Шаг 3: Изолируем слагаемое с переменной \(x\), перенеся свободный член (число без переменной) из левой части уравнения в правую. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный.
\[ 10x = 8 - 48 \]
Шаг 4: Выполним вычитание в правой части уравнения.
\[ 10x = -40 \]
Шаг 5: Найдём значение переменной \(x\), разделив обе части уравнения на коэффициент при \(x\), который равен 10.
\[ x = \frac{-40}{10} = -4 \]
Ответ: \(-4\)
Максимальный балл: 1
Задача:
\[ \text{Решите уравнение } x^2 = 9. \text{ Если уравнение имеет более одного корня,} \] \[ \text{в ответе укажите меньший из них.} \]
Решение:
Шаг 1: Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить вид \(x^{2} - 9 = 0\).
Шаг 2: Применим формулу разности квадратов \(a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b)\), где \(a=x\) и \(b=3\). Получим \((x-3)(x+3) = 0\).
Шаг 3: Для того чтобы произведение двух множителей было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Следовательно, либо \(x-3=0\), либо \(x+3=0\).
Шаг 4: Решим первое уравнение: \(x-3=0\). Прибавим 3 к обеим частям уравнения, получим \(x=3\).
Шаг 5: Решим второе уравнение: \(x+3=0\). Вычтем 3 из обеих частей уравнения, получим \(x=-3\).
Шаг 6: Уравнение имеет два корня: 3 и -3. По условию задачи нужно указать меньший из них. Меньший корень равен -3.
Ответ: \(-3\)
Максимальный балл: 1
Задача:
\[ \text{Найдите корень уравнения } 3^{2x-6} \cdot 3^{7-x} = 81. \]
Решение:
Шаг 1: Используем свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) для левой части уравнения.
\[ 3^{(2x-6) + (7-x)} = 81 \]
Шаг 2: Упрощаем показатель степени.
\[ 3^{2x - 6 + 7 - x} = 81 \] \[ 3^{x + 1} = 81 \]
Шаг 3: Представляем правую часть уравнения в виде степени с основанием 3. Так как \(3^1 = 3\), \(3^2 = 9\), \(3^3 = 27\), \(3^4 = 81\), то \(81 = 3^4\).
\[ 3^{x + 1} = 3^4 \]
Шаг 4: Приравниваем показатели степеней, так как основания равны.
\[ x + 1 = 4 \]
Шаг 5: Решаем полученное линейное уравнение. Вычитаем 1 из обеих частей.
\[ x = 4 - 1 = 3 \]
Ответ: \(3\)
Максимальный балл: 1
Задача:
\[ \text{Решите уравнение } \sqrt{6x+13}=11 \]
Решение:
Шаг 1: Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня.
\[ (\sqrt{6x+13})^2 = 11^2 \] \[ 6x+13 = 121 \]
Шаг 2: Вычтём 13 из обеих частей уравнения, чтобы изолировать член с \(x\).
\[ 6x+13-13 = 121-13 \] \[ 6x = 108 \]
Шаг 3: Разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти значение \(x\).
\[ \frac{6x}{6} = \frac{108}{6} \] \[ x = 18 \]
Шаг 4: Проверим полученное решение, подставив \(x=18\) в исходное уравнение.
\[ \sqrt{6(18)+13} = \sqrt{108+13} = \sqrt{121} = 11 \checkmark \]
Левая часть равна правой части, значит, решение верно.
Ответ: \(18\)
Максимальный балл: 1
Задача:
\[ \text{Решите уравнение } x^2 - 9x = -20 \] \[ \text{Если уравнение имеет более одного корня,} \] \[ \text{в ответе укажите больший из них.} \]
Решение:
Шаг 1: Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).
\[ x^{2}-9x + 20 = 0 \]
Шаг 2: Определим коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) для данного квадратного уравнения.
В уравнении \(x^{2}-9x + 20 = 0\):
\(a = 1\) (коэффициент при \(x^2\))
\(b = -9\) (коэффициент при \(x\))
\(c = 20\) (свободный член)
Шаг 3: Вычислим дискриминант \(D\) по формуле \(D = b^2 - 4ac\).
\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 \] \[ D = 81 - 80 = 1 \]
Шаг 4: Найдём корни уравнения, используя формулу \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
Так как \(D = 1\), то \(\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1\).
\[ x_1 = \frac{-(-9) + 1}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{-(-9) - 1}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
Шаг 5: Сравним найденные корни и выберем больший.
Корни уравнения равны 5 и 4. Больший корень равен 5.
Ответ: \(5\)
Максимальный балл: 1
Задача:
\[ \text{Найдите корень уравнения } 2(3-2x)-7 = -3x+8. \]
Решение:
Шаг 1: Раскроем скобки в левой части уравнения, используя распределительное свойство умножения \(a(b-c) = ab - ac\).
\[ 2(3-2x) - 7 = -3x + 8 \] \[ 6 - 4x - 7 = -3x + 8 \]
Шаг 2: Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения. Сгруппируем константы \(6\) и \(-7\).
\[ (6 - 7) - 4x = -3x + 8 \] \[ -1 - 4x = -3x + 8 \]
Шаг 3: Перенесём все члены, содержащие переменную \(x\), в одну сторону уравнения (например, в левую), а все константы — в другую (в правую). При переносе члена через знак равенства его знак меняется на противоположный. Добавим \(3x\) к обеим частям уравнения.
\[ -1 - 4x + 3x = -3x + 8 + 3x \] \[ -1 - x = 8 \]
Шаг 4: Перенесём константу \(-1\) из левой части в правую, изменив её знак на противоположный. Для этого прибавим \(1\) к обеим частям уравнения.
\[ -1 - x + 1 = 8 + 1 \] \[ -x = 9 \]
Шаг 5: Чтобы найти значение \(x\), умножим обе части уравнения на \(-1\).
\[ (-1)(-x) = (-1)(9) \] \[ x = -9 \]
Ответ: \(-9\)
Задача номер 17 проверяет ваше умение решать уравнения разных типов. Главное — помнить основные правила:
Если вы будете внимательны и аккуратны, эта задача станет для вас лёгкой! Практикуйтесь на разных примерах, и вы точно получите балл.
Решение уравнений с дробями и скобками
Раскрытие скобок с переменными
Приведение подобных членов многочленов
Упрощение выражений с переменными
Свойства степеней с целым показателем
Умножение и деление степеней при одном основании