Задача номер 16 на ЕГЭ по базовой математике — это вычисление числовых выражений со степенями, корнями и логарифмами. Здесь нужно применять свойства степеней, корней и логарифмов, чтобы упростить и найти значение выражения.
За правильное решение этой задачи вы получите 1 балл. Это не так много, но каждый балл важен!
Главное — не бояться формул. Все они основаны на простых правилах, которые легко запомнить и применять.
Основные понятия
Что такое степень?
Степень — это краткая запись умножения числа на себя несколько раз.
Например: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
Здесь 2 — основание, 3 — показатель степени.
Что такое корень?
Корень — это обратная операция степени.
Например: $\sqrt[3]{8} = 2$, потому что $2^3 = 8$
Корень второй степени называется квадратным корнем: $\sqrt{9} = 3$
Что такое логарифм?
Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить число.
Например: $\log_2 8 = 3$, потому что $2^3 = 8$
Запись $\log_b a$ читается как «логарифм $a$ по основанию $b$».
Основные свойства степеней
Для решения задач нужно знать эти правила:
1. Умножение степеней с одинаковым основанием:
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
2. Деление степеней с одинаковым основанием:
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
3. Возведение степени в степень:
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
4. Степень произведения:
$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
5. Степень частного:
$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
6. Отрицательная степень:
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
7. Нулевая степень:
$a^0 = 1$ (для $a \neq 0$)
Основные свойства корней
1. Определение корня:
$\sqrt[n]{a} = b$ означает, что $b^n = a$
2. Квадрат корня:
$(\sqrt{a})^2 = a$
3. Произведение корней:
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$
4. Частное корней:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
5. Корень из степени:
$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$
Основные свойства логарифмов
1. Логарифм произведения:
$\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y$
2. Логарифм частного:
$\log_b \frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$
3. Логарифм степени:
$\log_b x^n = n \cdot \log_b x$
4. Логарифм единицы:
$\log_b 1 = 0$
5. Логарифм основания:
$\log_b b = 1$
Алгоритм решения задачи номер 16
Шаг 1: Внимательно прочитайте выражение. Определите, какие операции нужно выполнить.
Шаг 2: Приведите все числа к одному основанию (если возможно). Например, $8 = 2^3$, $27 = 3^3$.
Шаг 3: Применяйте свойства степеней, корней или логарифмов поочередно.
Шаг 4: Упрощайте выражение пошагово. Не спешите.
Шаг 5: Вычислите окончательный результат.
Шаг 6: Проверьте ответ, если есть время.
Подробный пример
Задача:
\[ \text{Найдите значение выражения } \frac{(5^{-3})^2}{5^{-9}} \]
Решение:
Шаг 1: Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к числителю выражения.
\[ \frac{(5^{-3})^{2}}{5^{-9}} = \frac{5^{-3 \cdot 2}}{5^{-9}} \]
Шаг 2: Вычислим произведение в показателе степени числителя.
\[ \frac{5^{-6}}{5^{-9}} \]
Шаг 3: Применим свойство степени $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для деления степеней с одинаковым основанием.
\[ 5^{-6 - (-9)} \]
Шаг 4: Вычислим показатель степени.
\[ 5^{-6 + 9} = 5^3 \]
Шаг 5: Вычислим окончательное значение.
\[ 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \]
Ответ: 125
Пример 1: Логарифмы
Задача:
\[ \text{Найдите значение выражения } \log_2 16 - \log_2 4. \]
Решение:
Шаг 1: Применим свойство логарифмов $\log_b x - \log_b y = \log_b \frac{x}{y}$.
\[ \log _{2} 16-\log _{2} 4 = \log _{2} \frac{16}{4} \]
Шаг 2: Вычислим значение дроби.
\[ \log _{2} \frac{16}{4} = \log _{2} 4 \]
Шаг 3: Найдем значение логарифма. Логарифм $\log_b a$ — это степень, в которую нужно возвести основание $b$, чтобы получить число $a$. В данном случае, нам нужно найти степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 4.
\[ \log _{2} 4 = 2 \]
Поскольку $2^2 = 4$.
Ответ: 2
Пример 2: Отрицательные степени
Задача:
\[ \text{Найдите значение выражения } \frac{\left(5^{-3}\right)^2}{5^{-9}} \]
Решение:
Шаг 1: Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к числителю выражения.
\[ \frac{\left(5^{-3}\right)^{2}}{5^{-9}} = \frac{5^{-3 \cdot 2}}{5^{-9}} \]
Шаг 2: Вычислим произведение в показателе степени числителя.
\[ \frac{5^{-6}}{5^{-9}} \]
Шаг 3: Применим свойство степени $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для деления степеней с одинаковым основанием.
\[ 5^{-6 - (-9)} \]
Шаг 4: Вычислим показатель степени.
\[ 5^{-6 + 9} = 5^3 \]
Шаг 5: Вычислим окончательное значение.
\[ 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \]
Ответ: 125
Пример 3: Корни и формула разности квадратов
Задача:
\[ \text{Найдите значение выражения } (\sqrt{15} - \sqrt{5})(\sqrt{15} + \sqrt{5}) \]
Решение:
Шаг 1: Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{15}$ и $b = \sqrt{5}$.
\[ (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{5})^2 \]
Шаг 2: Возведем в квадрат квадратные корни. По определению квадратного корня, $(\sqrt{x})^2 = x$ для любого неотрицательного числа $x$.
\[ 15 - 5 \]
Шаг 3: Выполним вычитание.
\[ 10 \]
Ответ: 10
Пример 4: Приведение к одному основанию
Задача:
\[ \text{Найдите значение выражения } \frac{8^3}{2^4}:2^2 \]
Решение:
Шаг 1: Представим число 8 как степень числа 2.
\[ \frac{8^{3}}{2^{4}}: 2^{2} = \frac{(2^{3})^{3}}{2^{4}}: 2^{2} \]
Шаг 2: Применим свойство степени степени $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$.
\[ \frac{2^{3 \cdot 3}}{2^{4}}: 2^{2} = \frac{2^{9}}{2^{4}}: 2^{2} \]
Шаг 3: Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$.
\[ 2^{9-4}: 2^{2} = 2^{5}: 2^{2} \]
Шаг 4: Снова применим свойство деления степеней с одинаковым основанием.
\[ 2^{5-2} = 2^{3} \]
Шаг 5: Вычислим значение полученной степени.
\[ 2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \]
Ответ: 8
Пример 5: Умножение и деление степеней
Задача:
\[ \text{Найдите значение выражения } \frac{3^{-10} \cdot 3^5}{3^{-7}}. \]
Решение:
Шаг 1: Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием для числителя.
\[ \frac{3^{-10} \cdot 3^{5}}{3^{-7}} = \frac{3^{-10+5}}{3^{-7}} \]
Шаг 2: Вычисляем показатель степени в числителе.
\[ \frac{3^{-5}}{3^{-7}} \]
Шаг 3: Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием.
\[ 3^{-5 - (-7)} \]
Шаг 4: Упрощаем показатель степени.
\[ 3^{-5 + 7} = 3^2 \]
Шаг 5: Вычисляем окончательное значение.
\[ 3^2 = 9 \]
Ответ: 9
Пример 6: Корни в знаменателе
Задача:
\[ \text{Найдите значение выражения } \frac{18}{(3\sqrt{5})^2} \]
Решение:
Шаг 1: Возведем в квадрат знаменатель выражения.
\[ (3 \sqrt{5})^{2} = 3^{2} \cdot (\sqrt{5})^{2} \]
Шаг 2: Вычислим квадрат числа 3 и квадрат квадратного корня из 5.
\[ 3^{2} = 9 \]
\[ (\sqrt{5})^{2} = 5 \]
Шаг 3: Перемножим полученные значения.
\[ 9 \cdot 5 = 45 \]
Шаг 4: Подставим полученное значение знаменателя обратно в исходное выражение.
\[ \frac{18}{45} \]
Шаг 5: Сократим дробь, найдя наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Наибольший общий делитель для 18 и 45 равен 9.
\[ \frac{18 \div 9}{45 \div 9} = \frac{2}{5} \]
Шаг 6: Переведем полученную обыкновенную дробь в десятичную.
\[ \frac{2}{5} = 0.4 \]
Ответ: 0.4
Задача номер 16 требует хорошего знания свойств степеней, корней и логарифмов. Главное правило: учитесь распознавать, какое свойство применить.
Помните:
- Степени с одинаковым основанием складываются при умножении и вычитаются при делении.
- Корень от числа — это обратная степень. $(\sqrt{x})^2 = x$.
- Логарифм — это показатель степени. Используйте свойства логарифмов для упрощения.
- Приводите числа к одному основанию, если возможно.
- Выполняйте действия пошагово и не спешите.
Решайте больше примеров, и вскоре эти правила станут для вас второй природой!
Связанные темы: