Что такое процент?
Определение:
Процент — это одна сотая часть от целого числа.
$1\% = \frac{1}{100} = 0.01$
Если число обозначить как $x$, то $p\%$ от этого числа равно: $\frac{p}{100} \cdot x$ или $0.0p \cdot x$
Основные типы задач на проценты
Тип 1: Найти процент от числа
Чтобы найти $p\%$ от числа $x$, нужно умножить число на $\frac{p}{100}$:
\[ p\% \text{ от } x = x \cdot \frac{p}{100} \]
Тип 2: Найти число по его проценту
Если $p\%$ от неизвестного числа $x$ равно $y$, то:
\[ x = y \cdot \frac{100}{p} \]
Тип 3: Найти, сколько процентов одно число составляет от другого
Чтобы найти, сколько процентов число $a$ составляет от числа $b$:
\[ \text{Процент} = \frac{a}{b} \cdot 100\% \]
Тип 4: Увеличение или уменьшение на процент
Если число $x$ увеличивается на $p\%$, то новое число равно:
\[ x_{\text{новое}} = x \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \]
Если число $x$ уменьшается на $p\%$, то новое число равно:
\[ x_{\text{новое}} = x \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right) \]
Алгоритм решения задачи номер 15
Шаг 1: Внимательно прочитай условие. Определи, что дано и что нужно найти.
Шаг 2: Выясни тип задачи — это поиск процента от числа, числа по проценту, или изменение на процент?
Шаг 3: Выбери подходящую формулу из четырёх основных типов.
Шаг 4: Подставь числа из условия в формулу.
Шаг 5: Выполни вычисления аккуратно, переводя проценты в десятичные дроби.
Шаг 6: Проверь, имеет ли ответ смысл (например, при скидке цена должна уменьшиться).
Простой пример с пошаговым решением
Задача: В магазине была скидка 20%. Товар стоил 500 рублей. Сколько рублей стоит товар со скидкой?
Решение:
Шаг 1: Прочитаем условие. Дано: начальная цена = 500 рублей, скидка = 20%.
Найти: цена со скидкой.
Шаг 2: Это задача на уменьшение числа на процент (Тип 4).
Шаг 3: Используем формулу:
\[ x_{\text{новое}} = x \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right) \]
Шаг 4: Подставляем числа:
\[ x_{\text{новое}} = 500 \cdot \left(1 - \frac{20}{100}\right) \]
Шаг 5: Упрощаем:
\[ x_{\text{новое}} = 500 \cdot (1 - 0.2) = 500 \cdot 0.8 = 400 \]
Ответ: Товар стоит 400 рублей.
Мини-словарик
- Процент: одна сотая часть целого (1% = 1/100)
- Скидка: уменьшение цены на определённый процент
- Увеличение: повышение цены или значения на определённый процент
- Базовое число: число, от которого считают процент
- Десятичная дробь: представление процента в виде числа (например, 20% = 0.2)
Максимальный балл за эту задачу: 1
Пример 1: Снижение цены
Задача:
Поступивший в продажу в сентябре мобильный телефон стоил 2400 рублей.
В октябре он стал стоить 1320 рублей.
На сколько процентов снизилась цена мобильного телефона в период с сентября по октябрь?
Решение:
Шаг 1: Находим величину снижения цены.
\[ \text{Снижение цены} = \text{Начальная цена} - \text{Конечная цена} \]
\[ \text{Снижение цены} = 2400 \text{ руб.} - 1320 \text{ руб.} = 1080 \text{ руб.} \]
Шаг 2: Находим, какую часть от начальной цены составляет снижение.
\[ \text{Часть снижения} = \frac{\text{Снижение цены}}{\text{Начальная цена}} = \frac{1080}{2400} \]
Шаг 3: Упрощаем полученную дробь. Делим числитель и знаменатель на 120:
\[ \frac{1080}{2400} = \frac{1080 \div 120}{2400 \div 120} = \frac{9}{20} \]
Шаг 4: Переводим дробь в десятичный вид.
\[ \frac{9}{20} = \frac{9 \times 5}{20 \times 5} = \frac{45}{100} = 0.45 \]
Шаг 5: Переводим десятичную дробь в проценты.
\[ \text{Процент снижения} = 0.45 \times 100\% = 45\% \]
Ответ: 45%
Пример 2: Нахождение целого числа по проценту
Задача:
Призёрами городской олимпиады по математике стали 25 учащихся, что составило 5% от числа участников.
Сколько человек участвовало в олимпиаде?
Решение:
Шаг 1: Обозначим общее число участников олимпиады за $x$.
Шаг 2: По условию задачи, 25 учащихся стали призёрами, что составляет 5% от общего числа участников. Составим уравнение:
\[ 5\% \text{ от } x = 25 \]
Шаг 3: Переведём проценты в десятичную дробь: $5\% = \frac{5}{100} = 0.05$
Шаг 4: Уравнение принимает вид:
\[ 0.05 \cdot x = 25 \]
Шаг 5: Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0.05:
\[ x = \frac{25}{0.05} \]
Шаг 6: Для удобства умножим числитель и знаменатель на 100:
\[ x = \frac{25 \times 100}{0.05 \times 100} = \frac{2500}{5} = 500 \]
Ответ: 500 человек
Пример 3: Увеличение на процент
Задача:
Ежемесячная плата за телефон составляет 250 рублей.
В следующем году она увеличится на 2%.
Сколько рублей будет составлять ежемесячная плата за телефон в следующем году?
Решение:
Шаг 1: Определим начальную ежемесячную плату. Начальная плата = 250 рублей.
Шаг 2: Определим процент увеличения. Процент увеличения = 2%
Шаг 3: Рассчитаем сумму увеличения.
\[ \text{Сумма увеличения} = \text{Начальная плата} \times \frac{\text{Процент увеличения}}{100} \]
\[ \text{Сумма увеличения} = 250 \times \frac{2}{100} = 250 \times 0.02 = 5 \text{ рублей} \]
Шаг 4: Рассчитаем новую ежемесячную плату.
\[ \text{Новая плата} = \text{Начальная плата} + \text{Сумма увеличения} \]
\[ \text{Новая плата} = 250 + 5 = 255 \text{ рублей} \]
Ответ: 255 рублей
Пример 4: Процент от целого
Задача:
Городской бюджет составляет 91 млн рублей, а расходы на одну из его статей составили 20%.
Сколько миллионов рублей потрачено на эту статью бюджета?
Решение:
Шаг 1: Определим общую сумму городского бюджета. Общий бюджет составляет 91 млн рублей.
Шаг 2: Определим процент расходов на одну из статей. Расходы на одну из статей составляют 20% от общего бюджета.
Шаг 3: Рассчитаем сумму расходов на эту статью. Переведём проценты в десятичную дробь: $20\% = \frac{20}{100} = 0.20$
Шаг 4: Умножим общий бюджет на эту десятичную дробь:
\[ 91 \text{ млн рублей} \times 0.20 = 91 \times 0.2 \]
Шаг 5: Выполним вычисление:
\[ 91 \times 0.2 = 91 \times \frac{2}{10} = \frac{182}{10} = 18.2 \]
Таким образом, на эту статью бюджета потрачено 18.2 млн рублей.
Ответ: 18.2 млн рублей
Пример 5: Увеличение и процент
Задача:
В начале года число абонентов телефонной компании «Юг» составляло 700 тыс. человек, а в конце года их стало 875 тыс. человек.
На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?
Решение:
Шаг 1: Найдём абсолютное увеличение числа абонентов.
\[ \text{Увеличение} = \text{Конечное число абонентов} - \text{Начальное число абонентов} \]
\[ \text{Увеличение} = 875 \text{ тыс.} - 700 \text{ тыс.} = 175 \text{ тыс.} \]
Шаг 2: Рассчитаем процентное увеличение.
\[ \text{Процентное увеличение} = \left( \frac{\text{Абсолютное увеличение}}{\text{Начальное число абонентов}} \right) \times 100\% \]
\[ \text{Процентное увеличение} = \left( \frac{175 \text{ тыс.}}{700 \text{ тыс.}} \right) \times 100\% \]
Шаг 3: Выполним деление.
\[ \frac{175}{700} = \frac{175 \div 175}{700 \div 175} = \frac{1}{4} = 0.25 \]
Шаг 4: Переведём десятичную дробь в проценты.
\[ 0.25 \times 100\% = 25\% \]
Ответ: 25%
Пример 6: Нахождение первоначальной цены при скидке
Задача:
Товар на распродаже уценили на 40%, при этом он стал стоить 840 рублей.
Сколько рублей стоил товар до распродажи?
Решение:
Шаг 1: Обозначим изначальную стоимость товара как $x$ рублей.
Шаг 2: Уценка товара составила 40% от его изначальной стоимости. Это означает, что цена товара уменьшилась на $0.40x$ рублей.
Шаг 3: Новая стоимость товара после уценки равна изначальной стоимости минус сумма уценки:
\[ x - 0.40x = 840 \]
Шаг 4: Упростим левую часть уравнения:
\[ (1 - 0.40)x = 0.60x = 840 \]
Шаг 5: Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0.60:
\[ x = \frac{840}{0.60} \]
Шаг 6: Для удобства умножим числитель и знаменатель на 10:
\[ x = \frac{840 \times 10}{0.60 \times 10} = \frac{8400}{6} = 1400 \]
Ответ: 1400 рублей