Задача номер 14 на ЕГЭ по базовой математике — это вычисление значений выражений с обыкновенными и десятичными дробями, а также со степенями.
В этих задачах нужно правильно применять порядок операций, умело работать с дробями и преобразовывать числа в разных формах.
За правильное решение задачи номер 14 вы получаете 1 балл.
Эти задачи кажутся сложными, но на самом деле это просто последовательное применение простых правил. Давайте разберёмся вместе!
Задача:
\[ \text{Найдите значение выражения } \frac{27}{20}:\frac{9}{4}-0{,}5. \]Решение:
Шаг 1: Выполним деление дробей. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
\[ \frac{27}{20} : \frac{9}{4} = \frac{27}{20} \times \frac{4}{9} \]Шаг 2: Умножим числители и знаменатели.
\[ \frac{27 \times 4}{20 \times 9} \]Шаг 3: Сократим дробь. Заметим, что 27 делится на 9 (27 = 3 × 9), а 20 делится на 4 (20 = 5 × 4).
\[ \frac{3 \times 9 \times 4}{5 \times 4 \times 9} = \frac{3}{5} \]Шаг 4: Переведём десятичную дробь 0,5 в обыкновенную.
\[ 0{,}5 = \frac{1}{2} \]Шаг 5: Выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 10.
\[ \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6}{10} - \frac{5}{10} = \frac{1}{10} \]Шаг 6: Переведём в десятичную форму.
\[ \frac{1}{10} = 0{,}1 \]Ответ: $0{,}1$
Задача:
\[ \text{Найдите значение выражения } 7{,}6 \cdot 10^{-2} + 8{,}4 \cdot 10^{-1}. \]Решение:
Шаг 1: Представим числа в развёрнутом виде, используя свойства степеней.
\[ 7{,}6 \cdot 10^{-2} = 7{,}6 \times 0{,}01 = 0{,}076 \] \[ 8{,}4 \cdot 10^{-1} = 8{,}4 \times 0{,}1 = 0{,}84 \]Шаг 2: Сложим полученные десятичные дроби.
\[ 0{,}076 + 0{,}84 = 0{,}916 \]Ответ: $0{,}916$
Задача:
Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле
\[ h = \left(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}. \]Найдите среднее гармоническое чисел $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{5}$ и $1$.
Решение:
Шаг 1: Подставим данные числа в формулу.
\[ h = \left(\frac{\frac{1}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{\frac{1}{5}}+\frac{1}{1}}{3}\right)^{-1} \]Шаг 2: Упростим выражения в числителе, используя правило деления на дробь.
\[ \frac{1}{\frac{1}{2}} = 1 \times \frac{2}{1} = 2 \] \[ \frac{1}{\frac{1}{5}} = 1 \times \frac{5}{1} = 5 \] \[ \frac{1}{1} = 1 \]Шаг 3: Подставим упрощённые значения обратно.
\[ h = \left(\frac{2+5+1}{3}\right)^{-1} \]Шаг 4: Вычислим сумму в числителе.
\[ 2+5+1 = 8 \]Шаг 5: Подставим результат.
\[ h = \left(\frac{8}{3}\right)^{-1} \]Шаг 6: Применим свойство отрицательной степени: $x^{-1} = \frac{1}{x}$.
\[ h = \frac{1}{\frac{8}{3}} = \frac{3}{8} \]Шаг 7: Переведём в десятичную форму.
\[ \frac{3}{8} = 0{,}375 \]Ответ: $0{,}375$
Задача:
\[ \text{Найдите значение выражения } \left(\frac{11}{10}+\frac{11}{13}\right):\frac{22}{39}. \]Решение:
Шаг 1: Находим сумму дробей в скобках, приводя к общему знаменателю.
\[ \frac{11}{10}+\frac{11}{13} = \frac{11 \cdot 13}{10 \cdot 13} + \frac{11 \cdot 10}{13 \cdot 10} = \frac{143}{130} + \frac{110}{130} = \frac{253}{130} \]Шаг 2: Делим полученную дробь на вторую дробь.
\[ \frac{253}{130} : \frac{22}{39} = \frac{253}{130} \cdot \frac{39}{22} \]Шаг 3: Сокращаем перед умножением. Заметим, что $253 = 11 \times 23$, $22 = 11 \times 2$, $39 = 3 \times 13$, $130 = 10 \times 13$.
\[ \frac{11 \cdot 23}{10 \cdot 13} \cdot \frac{3 \cdot 13}{11 \cdot 2} = \frac{23}{10} \cdot \frac{3}{2} \]Шаг 4: Умножаем оставшиеся числители и знаменатели.
\[ \frac{23 \cdot 3}{10 \cdot 2} = \frac{69}{20} \]Шаг 5: Переводим в десятичную форму.
\[ \frac{69}{20} = 3{,}45 \]Ответ: $3{,}45$
Задача:
\[ \text{Найдите значение выражения } \left(\frac{5}{26}-\frac{3}{25}\right)\cdot\frac{13}{2}. \]Решение:
Шаг 1: Приведём дроби в скобках к общему знаменателю.
\[ \frac{5}{26} - \frac{3}{25} = \frac{5 \cdot 25}{26 \cdot 25} - \frac{3 \cdot 26}{25 \cdot 26} = \frac{125}{650} - \frac{78}{650} = \frac{47}{650} \]Шаг 2: Умножим полученную дробь на $\frac{13}{2}$.
\[ \frac{47}{650} \cdot \frac{13}{2} \]Шаг 3: Сократим перед умножением. Заметим, что $650 = 50 \times 13$.
\[ \frac{47}{50 \cdot 13} \cdot \frac{13}{2} = \frac{47}{50} \cdot \frac{1}{2} = \frac{47}{100} \]Шаг 4: Переведём в десятичную форму.
\[ \frac{47}{100} = 0{,}47 \]Ответ: $0{,}47$
Задача:
\[ \text{Найдите значение выражения } \left( \frac{8}{19} - \frac{17}{38} \right) \cdot \frac{19}{5} \]Решение:
Шаг 1: Приведём дроби в скобках к общему знаменателю.
\[ \frac{8}{19} - \frac{17}{38} = \frac{8 \cdot 2}{19 \cdot 2} - \frac{17}{38} = \frac{16}{38} - \frac{17}{38} = \frac{-1}{38} \]Шаг 2: Умножим полученную дробь на $\frac{19}{5}$.
\[ \frac{-1}{38} \cdot \frac{19}{5} \]Шаг 3: Сократим перед умножением. Заметим, что $38 = 2 \times 19$.
\[ \frac{-1}{2 \cdot 19} \cdot \frac{19}{5} = \frac{-1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{-1}{10} \]Шаг 4: Переведём в десятичную форму.
\[ \frac{-1}{10} = -0{,}1 \]Ответ: $-0{,}1$
Задача номер 14 требует от вас уверенного владения арифметическими операциями с дробями и степенями.
Главное правило: всегда соблюдайте порядок операций — сначала скобки, затем степени, потом умножение и деление, и, наконец, сложение и вычитание.
Полезные советы:
Решайте больше примеров, и эти задачи станут для вас простыми!