Что такое объём?
Объём — это количество пространства, которое занимает трёхмерное тело.
Измеряется в кубических единицах: см³, м³ и так далее.
Что такое площадь поверхности?
Площадь поверхности — это сумма площадей всех граней (или поверхностей) геометрического тела.
Измеряется в квадратных единицах: см², м² и так далее.
Основные формулы
Объём конуса:
\[ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \]
где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота конуса.
Площадь поверхности шара:
\[ S = 4\pi r^2 \]
где \( r \) — радиус шара.
Объём шара:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
где \( r \) — радиус шара.
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды:
\[ S_{\text{бок}} = 3 \times S_{\text{грани}} \]
где \( S_{\text{грани}} \) — площадь одной боковой грани (равнобедренного треугольника).
Мини-словарь
Конус — геометрическое тело, образованное круглым основанием и боковой поверхностью, сходящейся в вершину.
Шар — геометрическое тело, все точки которого находятся на одинаковом расстоянии (радиусе) от центра.
Пирамида — геометрическое тело с многоугольным основанием и треугольными боковыми гранями, сходящимися в вершину.
Радиус — расстояние от центра окружности (или шара) до любой точки на её границе.
Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины фигуры на её основание.
Алгоритм решения задачи номер 13
Шаг 1. Внимательно прочитайте условие и выделите ключевые данные (радиусы, высоты, стороны).
Шаг 2. Определите, какое геометрическое тело рассматривается (конус, шар, пирамида и т. д.).
Шаг 3. Выберите нужную формулу для объёма или площади поверхности.
Шаг 4. Подставьте известные значения в формулу.
Шаг 5. Выполните вычисления, упростив выражение и избавившись от лишних множителей (например, \( \pi \)).
Шаг 6. Запишите окончательный ответ в требуемом виде.
Подробный пример
Пример: Два шара имеют радиусы 3 см и 1 см. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
Решение:
Шаг 1: Запишем формулу объёма шара.
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Шаг 2: Вычислим объём большего шара (радиус \( r_1 = 3 \) см).
\[ V_1 = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = \frac{4}{3}\pi \times 27 = \frac{4 \times 27}{3}\pi = \frac{108}{3}\pi = 36\pi \text{ см}^3 \]
Шаг 3: Вычислим объём меньшего шара (радиус \( r_2 = 1 \) см).
\[ V_2 = \frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi \times 1 = \frac{4}{3}\pi \text{ см}^3 \]
Шаг 4: Найдём отношение объёмов.
\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{36\pi}{\frac{4}{3}\pi} = \frac{36\pi \times 3}{4\pi} = \frac{108}{4} = 27 \]
Ответ: Объём большего шара больше объёма меньшего в 27 раз.
Условие:
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 2 и 6, а второго — 8 и 9. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого?
Решение:
Шаг 1: Запишем формулу для объёма конуса.
Объём конуса \( V \) вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \), где \( r \) — радиус основания конуса, а \( h \) — его высота.
Шаг 2: Вычислим объём первого конуса.
Для первого конуса радиус \( r_1 = 2 \) и высота \( h_1 = 6 \).
Подставляем значения в формулу: \( V_1 = \frac{1}{3}\pi (2^2)(6) \).
\( V_1 = \frac{1}{3}\pi (4)(6) \).
\( V_1 = \frac{1}{3}\pi (24) \).
\( V_1 = 8\pi \).
Шаг 3: Вычислим объём второго конуса.
Для второго конуса радиус \( r_2 = 8 \) и высота \( h_2 = 9 \).
Подставляем значения в формулу: \( V_2 = \frac{1}{3}\pi (8^2)(9) \).
\( V_2 = \frac{1}{3}\pi (64)(9) \).
\( V_2 = \frac{1}{3}\pi (576) \).
\( V_2 = 192\pi \).
Шаг 4: Найдём, во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого.
\( \frac{V_2}{V_1} = \frac{192\pi}{8\pi} = \frac{192}{8} = 24 \).
Ответ: 24
Условие:
Даны два шара с радиусами 6 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
Решение:
Шаг 1: Запишем формулу площади поверхности шара.
Площадь поверхности шара \( S = 4\pi r^2 \), где \( r \) — радиус шара.
Шаг 2: Вычислим площадь поверхности большего шара.
Радиус большего шара \( r_1 = 6 \).
\( S_1 = 4\pi (6)^2 = 4\pi \times 36 = 144\pi \).
Шаг 3: Вычислим площадь поверхности меньшего шара.
Радиус меньшего шара \( r_2 = 1 \).
\( S_2 = 4\pi (1)^2 = 4\pi \times 1 = 4\pi \).
Шаг 4: Найдём отношение площадей.
\( \frac{S_1}{S_2} = \frac{144\pi}{4\pi} = \frac{144}{4} = 36 \).
Ответ: 36
Условие:
Даны два шара с радиусами \( R_1 = 5 \) и \( R_2 = 1 \). Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
Решение:
Шаг 1: Определим формулу для площади поверхности шара.
\( S = 4\pi r^2 \), где \( r \) — радиус шара.
Шаг 2: Вычислим площадь поверхности большего шара.
\( S_1 = 4\pi (5)^2 = 4\pi \times 25 = 100\pi \).
Шаг 3: Вычислим площадь поверхности меньшего шара.
\( S_2 = 4\pi (1)^2 = 4\pi \times 1 = 4\pi \).
Шаг 4: Найдём отношение площадей.
\( \frac{S_1}{S_2} = \frac{100\pi}{4\pi} = \frac{100}{4} = 25 \).
Ответ: 25
Условие:
Однородный шар диаметром 6 см весит 432 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 4 см, изготовленный из того же материала?
Решение:
Шаг 1: Определим радиусы шаров.
Радиус первого шара: \( R_1 = \frac{6}{2} = 3 \) см.
Радиус второго шара: \( R_2 = \frac{4}{2} = 2 \) см.
Шаг 2: Найдём отношение объёмов шаров.
Объём шара: \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \).
Отношение объёмов: \( \frac{V_2}{V_1} = \frac{R_2^3}{R_1^3} = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} \).
Шаг 3: Найдём вес второго шара.
Так как шары из одного материала, вес пропорционален объёму.
\( m_2 = m_1 \times \frac{V_2}{V_1} = 432 \times \frac{8}{27} \).
Шаг 4: Вычислим вес.
\( 432 \div 27 = 16 \) (так как \( 27 \times 16 = 432 \)).
\( m_2 = 16 \times 8 = 128 \) граммов.
Ответ: 128 граммов
Условие:
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 24, а боковые рёбра равны 37. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Решение:
Шаг 1: Определим структуру боковой поверхности.
Боковая поверхность состоит из трёх равных равнобедренных треугольников.
\( S_{\text{бок}} = 3 \times S_{\text{грани}} \).
Шаг 2: Найдём высоту боковой грани.
Боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 37, 37 и 24.
Проведём высоту из вершины к основанию (стороне 24).
Высота делит основание пополам: \( \frac{24}{2} = 12 \).
Шаг 3: Применим теорему Пифагора.
\( h_{\text{бок}}^2 + 12^2 = 37^2 \).
\( h_{\text{бок}}^2 + 144 = 1369 \).
\( h_{\text{бок}}^2 = 1225 \).
\( h_{\text{бок}} = 35 \).
Шаг 4: Вычислим площадь одной боковой грани.
\( S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} \times 24 \times 35 = 12 \times 35 = 420 \).
Шаг 5: Найдём общую площадь боковой поверхности.
\( S_{\text{бок}} = 3 \times 420 = 1260 \).
Ответ: 1260
Условие:
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 10. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Решение:
Шаг 1: Определим параметры боковой грани.
Боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 10, 10 и 16.
Шаг 2: Найдём высоту боковой грани.
Высота делит основание пополам: \( \frac{16}{2} = 8 \).
По теореме Пифагора: \( h_{\text{бок}}^2 + 8^2 = 10^2 \).
\( h_{\text{бок}}^2 + 64 = 100 \).
\( h_{\text{бок}}^2 = 36 \).
\( h_{\text{бок}} = 6 \).
Шаг 3: Вычислим площадь одной боковой грани.
\( S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} \times 16 \times 6 = 8 \times 6 = 48 \).
Шаг 4: Найдём общую площадь боковой поверхности.
\( S_{\text{бок}} = 3 \times 48 = 144 \).
Ответ: 144