Задача Номер 12

Пример 1: Отношение площадей треугольников

Максимальный балл за эту задачу: 1

Задача:

В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $BM:AB = 1:2$, а $BK:BC = 10:13$.

Во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$?

Решение:

Шаг 1: Запишем соотношения длин отрезков.
Дано: $BM : AB = 1 : 2$ и $BK : BC = 10 : 13$.
Из первого соотношения следует, что $BM = \frac{1}{2} AB$.
Из второго соотношения следует, что $BK = \frac{10}{13} BC$.

Шаг 2: Выразим площади треугольников через стороны и угол между ними.
Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)$, где $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\gamma$ — угол между ними.
Для треугольника $ABC$ площадь равна $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin(\angle B)$.
Для треугольника $MBK$ площадь равна $S_{MBK} = \frac{1}{2} BM \cdot BK \sin(\angle B)$.
Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.

Шаг 3: Найдем отношение площадей треугольников.
Разделим площадь треугольника $ABC$ на площадь треугольника $MBK$:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{MBK}} = \frac{\frac{1}{2} AB \cdot BC \sin(\angle B)}{\frac{1}{2} BM \cdot BK \sin(\angle B)}\]

Сократим общие множители $\frac{1}{2}$ и $\sin(\angle B)$:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{MBK}} = \frac{AB \cdot BC}{BM \cdot BK}\]

Шаг 4: Подставим соотношения длин отрезков в полученное выражение.
Из Шага 1 мы знаем, что $BM = \frac{1}{2} AB$ и $BK = \frac{10}{13} BC$.
Подставим эти значения в знаменатель:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{MBK}} = \frac{AB \cdot BC}{(\frac{1}{2} AB) \cdot (\frac{10}{13} BC)}\]

Сократим $AB$ и $BC$:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{MBK}} = \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{10}{13}}\]

Шаг 5: Вычислим окончательное значение.

\[\frac{S_{ABC}}{S_{MBK}} = \frac{1}{\frac{10}{26}} = \frac{26}{10} = 2{,}6\]

Ответ: площадь треугольника $ABC$ в 2,6 раза больше площади треугольника $MBK$.

---

Пример 2: Синус угла и высота в прямоугольном треугольнике

Максимальный балл за эту задачу: 1

Задача:

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90°$, отрезок $CH$ — высота, $BC = 20$, $\sin A = 0{,}1$.

Найдите длину отрезка $BH$.

Решение:

Шаг 1: В прямоугольном треугольнике $ABC$, где угол $C = 90°$, синус угла $A$ определяется как отношение противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$.

\[\sin A = \frac{BC}{AB}\]

Шаг 2: Подставим известные значения: $\sin A = 0{,}1$ и $BC = 20$.

\[0{,}1 = \frac{20}{AB}\]

Шаг 3: Выразим длину гипотенузы $AB$.

\[AB = \frac{20}{0{,}1} = 200\]

Шаг 4: В прямоугольном треугольнике $BCH$, где угол $CHB = 90°$, синус угла $B$ равен отношению противолежащего катета $CH$ к гипотенузе $BC$. Также, в прямоугольном треугольнике $ABC$, угол $B = 90° - A$. Следовательно, $\sin B = \cos A$.

Шаг 5: В прямоугольном треугольнике $ABC$, косинус угла $A$ определяется как отношение прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$.

\[\cos A = \frac{AC}{AB}\]

Шаг 6: Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.

\[(0{,}1)^2 + \cos^2 A = 1\] \[0{,}01 + \cos^2 A = 1\] \[\cos^2 A = 0{,}99\] \[\cos A = \sqrt{0{,}99}\]

Шаг 7: В прямоугольном треугольнике $BCH$, угол $CHB = 90°$. В треугольнике $BCH$, угол $BCH$ равен углу $A$.

\[\sin(\angle BCH) = \sin A = \frac{BH}{BC}\]

Шаг 8: Подставим известные значения: $\sin A = 0{,}1$ и $BC = 20$.

\[0{,}1 = \frac{BH}{20}\]

Шаг 9: Найдем длину отрезка $BH$.

\[BH = 0{,}1 \times 20 = 2\]

Ответ: $BH = 2$.

---

Пример 3: Тангенс угла в прямоугольнике

Максимальный балл за эту задачу: 1

Задача:

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 11, $\tan \angle CAD = 0{,}44$.

Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Шаг 1: Обозначим стороны прямоугольника.
Пусть $AB = CD = 11$ и $BC = AD = x$. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $S = AB \cdot AD = 11x$.

Шаг 2: Рассмотрим треугольник $ADC$.
Треугольник $ADC$ является прямоугольным, так как все углы в прямоугольнике прямые. Угол $\angle ADC = 90°$.

Шаг 3: Используем определение тангенса в прямоугольном треугольнике.
В прямоугольном треугольнике $ADC$, тангенс угла $\angle CAD$ определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

\[\tan \angle CAD = \frac{CD}{AD}\]

Шаг 4: Подставим известные значения и решим уравнение относительно $AD$.
Нам дано, что $\tan \angle CAD = 0{,}44$ и $CD = 11$.

\[0{,}44 = \frac{11}{AD}\]

Умножим обе стороны на $AD$ и разделим на $0{,}44$:

\[AD = \frac{11}{0{,}44}\]

Шаг 5: Вычислим значение $AD$.
Представим $0{,}44$ как дробь $\frac{44}{100}$.

\[AD = \frac{11}{\frac{44}{100}} = 11 \cdot \frac{100}{44}\]

Сократим дробь $\frac{100}{44}$, разделив числитель и знаменатель на 4: $\frac{100}{44} = \frac{25}{11}$.

\[AD = 11 \cdot \frac{25}{11} = 25\]

Шаг 6: Найдем площадь прямоугольника.

\[S = AB \cdot AD = 11 \cdot 25 = 275\]

Ответ: площадь прямоугольника равна 275.

---

Пример 4: Биссектриса в параллелограмме

Максимальный балл за эту задачу: 1

Задача:

В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса угла $A$, пересекающая сторону $BC$ в точке $K$.

Найдите $KC$, если $AB = 4$, а периметр параллелограмма равен 20.

Решение:

Шаг 1: Найдем сумму длин двух смежных сторон параллелограмма.
Периметр параллелограмма равен 20. Периметр вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон.

\[2(AB + BC) = 20\] \[AB + BC = 10\]

Шаг 2: Найдем длину стороны $BC$.
Из условия известно, что $AB = 4$.

\[4 + BC = 10\] \[BC = 6\]

Шаг 3: Определим свойства треугольника $ABK$.
$AK$ — биссектриса угла $A$. По определению, она делит угол пополам: $\angle BAK = \angle KAD$.
В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому $AD \parallel BC$, то есть $AD \parallel BK$.
Угол $\angle KAD$ и угол $\angle AKB$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AK$. Следовательно, $\angle KAD = \angle AKB$.

Шаг 4: Докажем, что треугольник $ABK$ равнобедренный.
Из Шага 3: $\angle BAK = \angle KAD$ и $\angle KAD = \angle AKB$.
Следовательно, $\angle BAK = \angle AKB$.
В треугольнике $ABK$ углы при основании равны, значит, стороны, лежащие напротив этих углов, также равны.
Следовательно, $AB = BK$.

Шаг 5: Найдем длину отрезка $BK$.
Из Шага 4: $AB = BK$.
Из условия: $AB = 4$.
Следовательно, $BK = 4$.

Шаг 6: Найдем длину отрезка $KC$.
Сторона $BC$ состоит из отрезков $BK$ и $KC$: $BC = BK + KC$.

\[6 = 4 + KC\] \[KC = 2\]

Ответ: $KC = 2$.

---

Пример 5: Медиана в равнобедренном треугольнике

Максимальный балл за эту задачу: 1

Задача:

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 48$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 10.

Точка $P$ — середина стороны $BC$.

Найдите длину отрезка $KP$.

Решение:

Шаг 1: В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Так как $BK$ — высота к основанию $AC$, то $K$ является серединой $AC$.

\[AK = KC = \frac{AC}{2} = \frac{48}{2} = 24\]

Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC$. По теореме Пифагора:

\[BC^2 = BK^2 + KC^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\] \[BC = \sqrt{676} = 26\]

Шаг 3: Точка $P$ — середина стороны $BC$. В треугольнике $BKC$, отрезок $KP$ соединяет вершину $K$ с серединой стороны $BC$. Следовательно, $KP$ является медианой треугольника $BKC$.

Шаг 4: В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. В треугольнике $BKC$, $BC$ является гипотенузой, а $KP$ — медиана, проведённая к ней.

\[KP = \frac{1}{2} BC\]

Шаг 5: Подставим значение $BC$.

\[KP = \frac{1}{2} \times 26 = 13\]

Ответ: $KP = 13$.

---

Пример 6: Биссектриса и внешние углы треугольника

Максимальный балл за эту задачу: 1

Задача:

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150°$, $AB = 26$.

Найдите длину биссектрисы $BK$.

Решение:

Шаг 1: Найдем внутренние углы треугольника при вершинах $A$ и $C$.
Внешний угол смежен с внутренним углом. Сумма смежных углов равна $180°$.

\[\angle BAC = 180° - 150° = 30°\] \[\angle BCA = 180° - 150° = 30°\]

Шаг 2: Определим тип треугольника.
Так как $\angle BAC = \angle BCA = 30°$, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$. Следовательно, $AB = BC$.
По условию $AB = 26$, значит $BC = 26$.

Шаг 3: Найдем угол $\angle ABC$.
Сумма углов в треугольнике равна $180°$.

\[\angle ABC = 180° - (30° + 30°) = 120°\]

Шаг 4: Найдем угол $\angle ABK$.
$BK$ — биссектриса угла $\angle ABC$. Биссектриса делит угол пополам.

\[\angle ABK = \frac{120°}{2} = 60°\]

Шаг 5: Найдем угол $\angle BKC$.
Рассмотрим треугольник $BKC$. Мы знаем $\angle BCK = 30°$ и $\angle KBC = 60°$.

\[\angle BKC = 180° - (60° + 30°) = 90°\]

Таким образом, биссектриса $BK$ перпендикулярна стороне $AC$.

Шаг 6: Найдем длину биссектрисы $BK$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC$. Мы знаем, что $BC = 26$ и $\angle BCK = 30°$.
В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в $30°$, равен половине гипотенузы.
В треугольнике $BKC$, катет $BK$ противолежит углу $\angle BCK = 30°$. Гипотенуза — сторона $BC$.

\[BK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 26 = 13\]

Ответ: $BK = 13$.