Задача номер 11 на ЕГЭ по базовой математике — это задачи на объёмы и площади поверхностей геометрических тел. Здесь вам нужно применять формулы для конусов, цилиндров, призм, параллелепипедов и других фигур в пространстве.
За правильное решение задачи номер 11 вы получаете 1 балл.
Эти задачи проверяют, умеете ли вы работать с формулами, подставлять значения и решать простые уравнения. Это очень полезный навык!
Для решения задач номер 11 нужно знать несколько ключевых формул. Давайте разберём самые важные:
Шаг 1: Внимательно прочитайте задачу и определите, какая фигура в ней описана (цилиндр, конус, параллелепипед и т. д.).
Шаг 2: Выпишите все известные значения (радиусы, высоты, объёмы, площади).
Шаг 3: Выберите нужную формулу для этой фигуры.
Шаг 4: Подставьте известные значения в формулу.
Шаг 5: Решите полученное уравнение, чтобы найти неизвестное значение.
Шаг 6: Проверьте ответ и убедитесь, что он имеет смысл.
Задача: Объём конуса равен \( 9\pi \), а радиус его основания равен 3. Найдите высоту конуса.
Решение:
Шаг 1: Запишем формулу объёма конуса.
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]Шаг 2: Подставим известные значения. Нам дано \( V = 9\pi \) и \( r = 3 \).
\[ 9\pi = \frac{1}{3} \pi (3)^2 h \]Шаг 3: Упростим. Вычислим \( (3)^2 = 9 \).
\[ 9\pi = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot h \]Шаг 4: Найдём \( \frac{1}{3} \times 9 = 3 \).
\[ 9\pi = 3\pi h \]Шаг 5: Разделим обе части на \( 3\pi \).
\[ h = \frac{9\pi}{3\pi} = 3 \]Ответ: высота конуса равна 3.
• Когда вы видите слово «объём», используйте формулы объёма (с буквой \( V \)).
• Когда говорят о «площади поверхности» или «боковой поверхности», используйте формулы площади (с буквой \( S \)).
• Помните о единицах измерения! Если радиус в сантиметрах, объём будет в кубических сантиметрах.
• Число \( \pi \) часто остаётся в ответе, не нужно его вычислять.
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
\[ \text{Объём конуса равен } 9\pi, \] \[ \text{а радиус его основания равен } 3. \] \[ \text{Найдите высоту конуса.} \]Решение:
Шаг 1: Запишем формулу объёма конуса.
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]где \( V \) — объём конуса, \( r \) — радиус основания конуса, \( h \) — высота конуса.
Шаг 2: Подставим известные значения в формулу. Нам дано, что \( V = 9\pi \) и \( r = 3 \).
\[ 9\pi = \frac{1}{3} \pi (3)^2 h \]Шаг 3: Упростим уравнение. Сначала вычислим \( (3)^2 \).
\[ (3)^2 = 3 \times 3 = 9 \]Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
\[ 9\pi = \frac{1}{3} \pi (9) h \]Умножим \( \frac{1}{3} \) на 9:
\[ \frac{1}{3} \times 9 = \frac{9}{3} = 3 \]Таким образом, уравнение примет вид:
\[ 9\pi = 3\pi h \]Шаг 4: Найдём высоту \( h \). Чтобы найти \( h \), нам нужно разделить обе стороны уравнения на \( 3\pi \).
\[ \frac{9\pi}{3\pi} = \frac{3\pi h}{3\pi} \]Сократим \( \pi \) в числителе и знаменателе левой части, а также \( 3\pi \) в числителе и знаменателе правой части.
\[ \frac{9}{3} = h \]Вычислим \( \frac{9}{3} \):
\[ 9 \div 3 = 3 \]Следовательно, \( h = 3 \).
Шаг 5: Запишем ответ.
Ответ: 3
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
\[ \text{В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 8 л воды.} \] \[ \text{После полного погружения в воду детали уровень воды в баке} \] \[ \text{увеличился в 1,5 раза.} \] \[ \text{Найдите объём детали.} \] \[ \text{Ответ дайте в кубических сантиметрах,} \] \[ \text{зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.} \]Решение:
Шаг 1: Переведём объём воды из литров в кубические сантиметры.
Известно, что 1 литр равен 1000 кубических сантиметров.
Объём воды в баке \( V_{\text{воды}} = 8 \) л.
Переведём в кубические сантиметры:
\[ V_{\text{воды}} = 8 \times 1000 \text{ см}^3 = 8000 \text{ см}^3 \]Шаг 2: Определим новый уровень воды после погружения детали.
Уровень воды увеличился в 1,5 раза. Это означает, что новый объём воды вместе с погруженной деталью равен первоначальному объёму воды, умноженному на 1,5.
Пусть \( V_{\text{воды с деталью}} \) — объём воды в баке после погружения детали.
\[ V_{\text{воды с деталью}} = V_{\text{воды}} \times 1,5 \] \[ V_{\text{воды с деталью}} = 8000 \text{ см}^3 \times 1,5 = 12000 \text{ см}^3 \]Шаг 3: Найдём объём детали.
Объём детали равен разнице между объёмом воды с деталью и первоначальным объёмом воды. Это происходит потому, что деталь вытеснила объём воды, равный своему собственному объёму.
Пусть \( V_{\text{детали}} \) — объём детали.
\[ V_{\text{детали}} = V_{\text{воды с деталью}} - V_{\text{воды}} \] \[ V_{\text{детали}} = 12000 \text{ см}^3 - 8000 \text{ см}^3 = 4000 \text{ см}^3 \]Ответ: 4000
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
\[ \text{Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне } h = 80 \text{ см.} \] \[ \text{На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой} \] \[ \text{цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше,} \] \[ \text{чем у данного?} \] \[ \text{Ответ дайте в сантиметрах.} \]Решение:
Шаг 1: Определим объём воды в первом сосуде.
Объём цилиндра вычисляется по формуле \( V = \pi r^2 h \), где \( r \) — радиус основания, а \( h \) — высота.
Пусть радиус первого сосуда равен \( r_1 \).
Тогда объём воды в первом сосуде \( V_1 = \pi r_1^2 h_1 \), где \( h_1 = 80 \) см.
Шаг 2: Определим радиус второго сосуда.
По условию задачи, радиус второго сосуда \( r_2 \) вдвое больше радиуса первого сосуда, то есть \( r_2 = 2r_1 \).
Шаг 3: Выразим объём воды во втором сосуде.
Объём воды останется тем же, то есть \( V_2 = V_1 \).
Объём второго сосуда будет \( V_2 = \pi r_2^2 h_2 \), где \( h_2 \) — новая высота воды.
Шаг 4: Приравняем объёмы и найдём новую высоту.
\[ V_1 = V_2 \Rightarrow \pi r_1^2 h_1 = \pi r_2^2 h_2 \]Подставим \( r_2 = 2r_1 \):
\[ \pi r_1^2 h_1 = \pi (2r_1)^2 h_2 \]Шаг 5: Упростим уравнение и найдём \( h_2 \).
\[ \pi r_1^2 h_1 = \pi (4r_1^2) h_2 \]Сократим \( \pi \) и \( r_1^2 \) с обеих сторон:
\[ h_1 = 4h_2 \]Отсюда:
\[ h_2 = \frac{h_1}{4} \]Шаг 6: Подставим значение \( h_1 \) и вычислим \( h_2 \).
\[ h_2 = \frac{80 \text{ см}}{4} = 20 \text{ см} \]Ответ: 20
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
\[ \text{В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 10 л воды.} \] \[ \text{После полного погружения в воду детали уровень воды в баке} \] \[ \text{увеличился в 1,3 раза. Найдите объём детали.} \] \[ \text{Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре} \] \[ \text{1000 кубических сантиметров.} \]Решение:
Шаг 1: Определим начальный объём воды в баке.
Начальный объём воды \( V_{\text{начальный}} \) равен 10 литрам.
\[ V_{\text{начальный}} = 10 \text{ л} \]Шаг 2: Переведём начальный объём воды в кубические сантиметры.
Известно, что 1 литр равен 1000 кубических сантиметров.
\[ V_{\text{начальный (см}^3\text{)}} = 10 \text{ л} \times 1000 \frac{\text{см}^3}{\text{л}} = 10000 \text{ см}^3 \]Шаг 3: Определим, как изменился уровень воды.
Уровень воды увеличился в 1,3 раза. Это означает, что новый объём воды (вода + деталь) в 1,3 раза больше начального объёма воды.
Шаг 4: Рассчитаем новый объём воды в баке после погружения детали.
Новый объём воды \( V_{\text{новый}} \) равен начальному объёму, умноженному на коэффициент увеличения уровня воды.
\[ V_{\text{новый}} = V_{\text{начальный}} \times 1,3 \] \[ V_{\text{новый (см}^3\text{)}} = 10000 \text{ см}^3 \times 1,3 = 13000 \text{ см}^3 \]Шаг 5: Найдём объём детали.
Объём детали \( V_{\text{детали}} \) равен разнице между новым объёмом воды и начальным объёмом воды.
\[ V_{\text{детали}} = V_{\text{новый}} - V_{\text{начальный}} \] \[ V_{\text{детали (см}^3\text{)}} = 13000 \text{ см}^3 - 10000 \text{ см}^3 = 3000 \text{ см}^3 \]Ответ: 3000
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
\[ \text{Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда} \] \[ \text{с рёбрами } a, b \text{ и } c \text{ вычисляется по формуле} \] \[ S = 2(ab + ac + bc). \] \[ \text{Найдите площадь поверхности прямоугольного} \] \[ \text{параллелепипеда с рёбрами } 2, 5 \text{ и } 6. \]Решение:
Шаг 1: Запишем данную формулу для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:
\[ S = 2(ab + ac + bc) \]Шаг 2: Подставим значения рёбер \( a = 2 \), \( b = 5 \) и \( c = 6 \) в формулу.
Шаг 3: Вычислим произведение рёбер попарно:
\[ ab = 2 \times 5 = 10 \] \[ ac = 2 \times 6 = 12 \] \[ bc = 5 \times 6 = 30 \]Шаг 4: Сложим полученные произведения:
\[ ab + ac + bc = 10 + 12 + 30 = 52 \]Шаг 5: Умножим сумму на 2, чтобы найти площадь поверхности:
\[ S = 2 \times 52 = 104 \]Ответ: 104
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
\[ \text{Даны два цилиндра. Радиус основания и высота} \] \[ \text{первого цилиндра равны соответственно 4 и 18,} \] \[ \text{а второго — 2 и 3. Во сколько раз площадь} \] \[ \text{боковой поверхности первого цилиндра больше} \] \[ \text{площади боковой поверхности второго?} \]Решение:
Шаг 1: Найдём площадь боковой поверхности первого цилиндра.
Формула площади боковой поверхности цилиндра: \( S_{\text{бок}} = 2\pi r h \), где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота.
Для первого цилиндра: \( r_1 = 4 \), \( h_1 = 18 \).
\[ S_{\text{бок1}} = 2\pi \cdot 4 \cdot 18 = 8\pi \cdot 18 = 144\pi \]Шаг 2: Найдём площадь боковой поверхности второго цилиндра.
Для второго цилиндра: \( r_2 = 2 \), \( h_2 = 3 \).
\[ S_{\text{бок2}} = 2\pi \cdot 2 \cdot 3 = 4\pi \cdot 3 = 12\pi \]Шаг 3: Найдём отношение площади боковой поверхности первого цилиндра к площади боковой поверхности второго цилиндра.
\[ \text{Отношение} = \frac{S_{\text{бок1}}}{S_{\text{бок2}}} = \frac{144\pi}{12\pi} \]Шаг 4: Вычислим отношение.
\[ \frac{144\pi}{12\pi} = \frac{144}{12} = 12 \]Ответ: 12
Задачи номер 11 на ЕГЭ по базовой математике требуют знания основных формул для объёмов и площадей поверхностей геометрических тел. Главное — это:
Практикуйте решение задач с разными фигурами, и вы быстро научитесь их решать!
Цилиндр: Площадь поверхности, Объём
Конус: Площадь поверхности, Объём
Призма: Площадь поверхности, Объём
Решение уравнений с дробями и скобками
Перевод между величинами