Задачи номер 10 на ЕГЭ по базовой математике — это практические геометрические задачи, которые встречаются в реальной жизни. Вы будете решать задачи про участки земли, телевизоры, лестницы, колёса и другие предметы. За правильное решение этой задачи вы получите 1 балл. Главное — внимательно читать условие и выбрать правильную формулу!
Что такое задача номер 10?
Это задачи на применение геометрических знаний к практическим ситуациям. Вам нужно:
— Понять, какую геометрическую фигуру описывает задача;
— Вспомнить нужную формулу;
— Подставить числа и вычислить ответ.
Основные геометрические понятия
Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые (90°).
Периметр — сумма длин всех сторон фигуры.
Площадь — размер поверхности фигуры.
Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.
Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны.
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол равен 90°.
Основные формулы
Периметр прямоугольника:
\[ P = 2(a + b) \]
где \( a \) и \( b \) — длины сторон.
Площадь прямоугольника:
\[ S = a \times b \]
Площадь квадрата:
\[ S = a^2 \]
где \( a \) — длина стороны.
Теорема Пифагора (для прямоугольного треугольника):
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
где \( c \) — гипотенуза (самая длинная сторона), \( a \) и \( b \) — катеты (две другие стороны).
Средняя линия трапеции:
\[ l = \frac{h_1 + h_2}{2} \]
где \( h_1 \) и \( h_2 \) — длины оснований трапеции.
Угол между радиусами окружности:
\[ \alpha = \frac{360°}{n} \]
где \( n \) — количество равных частей.
Алгоритм решения задачи номер 10
Шаг 1. Внимательно прочитайте условие задачи.
Шаг 2. Определите, какая геометрическая фигура описана в задаче (прямоугольник, квадрат, треугольник, трапеция, окружность).
Шаг 3. Выпишите все известные числа из условия.
Шаг 4. Вспомните и напишите формулу, которая нужна для решения.
Шаг 5. Подставьте числа в формулу.
Шаг 6. Выполните вычисления пошагово.
Шаг 7. Запишите ответ с нужной единицей измерения.
Пример с подробным решением
Задача: Участок земли для строительства дачи имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 60 м и 50 м. Одна из больших сторон участка идёт вдоль реки, а три остальные стороны нужно огородить забором. Найдите длину этого забора. Ответ дайте в метрах.
Решение:
Шаг 1: Определим размеры прямоугольного участка.
Стороны участка равны 60 м и 50 м.
Большая сторона равна 60 м, меньшая сторона равна 50 м.
Шаг 2: Определим, какие стороны участка нужно огородить забором.
Одна из больших сторон участка (60 м) идёт вдоль реки и не требует забора.
Остальные три стороны нужно огородить. Это две меньшие стороны и одна большая сторона.
Шаг 3: Рассчитаем длину забора.
Длина забора будет равна сумме длин трёх сторон: меньшая сторона + меньшая сторона + большая сторона.
Длина забора = 50 м + 50 м + 60 м.
Шаг 4: Вычислим итоговую длину забора.
50 + 50 = 100
100 + 60 = 160
Ответ: 160 метров
Пример 1: Диагональ прямоугольника (Теорема Пифагора)
Задача:
Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 50 см, а ширина экрана — 40 см. Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах.
Решение:
Шаг 1: Определим, что прямоугольный экран телевизора и его диагональ образуют прямоугольный треугольник. Стороны этого треугольника — это ширина экрана, высота экрана и диагональ экрана. Диагональ является гипотенузой, а ширина и высота — катетами.
Шаг 2: Применим теорему Пифагора: \( h^2 + w^2 = d^2 \), где \( h \) — высота, \( w \) — ширина, \( d \) — диагональ.
Шаг 3: Подставим известные значения: \( h^2 + 40^2 = 50^2 \).
Шаг 4: Вычислим квадраты: \( 40^2 = 1600 \) и \( 50^2 = 2500 \).
Шаг 5: Перепишем уравнение: \( h^2 + 1600 = 2500 \).
Шаг 6: Выразим \( h^2 \): \( h^2 = 2500 - 1600 = 900 \).
Шаг 7: Найдём высоту: \( h = \sqrt{900} = 30 \).
Ответ: 30 сантиметров
Пример 2: Площадь прямоугольника и площадь квадрата
Задача:
Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 15 метров. Хозяин отгородил на участке квадратный вольер со стороной 8 метров. Найдите площадь оставшейся части участка. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение:
Шаг 1: Вычислим площадь всего дачного участка.
Площадь прямоугольника: \( S_{\text{участок}} = 25 \times 15 \).
\( 25 \times 15 = 25 \times (10 + 5) = 250 + 125 = 375 \) м².
Шаг 2: Вычислим площадь квадратного вольера.
Площадь квадрата: \( S_{\text{вольер}} = 8^2 = 64 \) м².
Шаг 3: Найдём площадь оставшейся части.
\( S_{\text{оставшаяся}} = 375 - 64 = 311 \) м².
Ответ: 311 квадратных метров
Пример 3: Деление окружности на равные части
Задача:
Колесо имеет 24 спицы. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
Решение:
Шаг 1: Полный оборот колеса составляет 360°.
Шаг 2: Колесо имеет 24 спицы, которые делят полный оборот на 24 равные части.
Шаг 3: Чтобы найти угол между двумя соседними спицами, разделим полный оборот на количество спиц:
\[ \frac{360°}{24} = 15° \]
Ответ: 15 градусов
Пример 4: Средняя линия (половина высоты)
Задача:
Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту \( l \) этого столба, если высота \( h \) горки равна 2,9 м. Ответ дайте в метрах.
Решение:
Шаг 1: Столб подпирает горку посередине, значит, столб делит высоту горки пополам.
Шаг 2: Высота горки \( h = 2,9 \) м.
Шаг 3: Высота столба равна половине высоты горки:
\[ l = \frac{h}{2} = \frac{2,9}{2} = 1,45 \text{ м} \]
Ответ: 1,45 метра
Пример 5: Средняя линия трапеции
Задача:
Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту \( l \) этого столба, если наименьшая высота \( h_1 \) перил равна 1,8 м, а наибольшая высота \( h_2 \) равна 2,8 м. Ответ дайте в метрах.
Решение:
Шаг 1: Перила лестницы вместе с вертикальным столбом образуют трапецию. Вертикальный столб, расположенный посередине, — это средняя линия трапеции.
Шаг 2: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
\[ l = \frac{h_1 + h_2}{2} \]
Шаг 3: Подставим значения \( h_1 = 1,8 \) м и \( h_2 = 2,8 \) м:
\[ l = \frac{1,8 + 2,8}{2} = \frac{4,6}{2} = 2,3 \text{ м} \]
Ответ: 2,3 метра