Тригонометрический круг: основные значения и формулы

Привет, будущие выпускники! Сегодня мы разберем одну из ключевых тем для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике – тригонометрический круг. Это мощный инструмент, который поможет вам легко ориентироваться в тригонометрии.

1. Что такое тригонометрический круг?

Тригонометрический круг (или единичная окружность) — это окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=1$. Каждая точка на этой окружности соответствует определенному углу.

• Ось X соответствует косинусу угла.
• Ось Y соответствует синусу угла.

Положительное направление отсчета углов — против часовой стрелки от положительной полуоси X.

2. Основные углы и их значения

На тригонометрическом круге удобно запомнить значения синуса и косинуса для “основных” углов: $0^{\circ }$, $30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$ (и их кратных).

Угол (градусы)	Угол (радианы)	$\sin (\alpha )$	$\cos (\alpha )$	$\text{tg}(\alpha )$	$\text{ctg}(\alpha )$
$0^{\circ }$	$0$	$0$	$1$	$0$	не сущ.
$30^{\circ }$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\sqrt{3}$
$45^{\circ }$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$
$60^{\circ }$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$90^{\circ }$	$\frac{\pi }{2}$	$1$	$0$	не сущ.	$0$

Важно: $\text{tg}(\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}$ и $\text{ctg}(\alpha )=\frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}$.

3. Знаки тригонометрических функций по четвертям

Тригонометрический круг делится на 4 четверти. Знак функции зависит от четверти, в которой находится угол:

Функция	I четверть	II четверть	III четверть	IV четверть
$\sin \alpha$	$+$	$+$	$-$	$-$
$\cos \alpha$	$+$	$-$	$-$	$+$
$\text{tg}\alpha$	$+$	$-$	$+$	$-$
$\text{ctg}\alpha$	$+$	$-$	$+$	$-$

4. Формулы приведения

Формулы приведения позволяют свести тригонометрическую функцию любого угла к функции острого угла.

Правило “лошади”:

1. Если угол содержит $\frac{\pi }{2}$ или $\frac{3\pi }{2}$ (или $90^{\circ }$, $270^{\circ }$), функция меняется (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).
2. Если угол содержит $\pi$ или $2\pi$ (или $180^{\circ }$, $360^{\circ }$), функция не меняется.
3. Знак определяется по исходной функции и четверти, в которой находится угол.

Пример 1: Вычислить $\sin (150^{\circ })$. Угол $150^{\circ }$ находится во II четверти, где синус положителен. Можно представить как $\sin (180^{\circ }-30^{\circ })$ или $\sin (90^{\circ }+60^{\circ })$.

• Вариант 1: $\sin (180^{\circ }-30^{\circ })=\sin (30^{\circ })=\frac{1}{2}$. (Функция не меняется, знак “+”)
• Вариант 2: $\sin (90^{\circ }+60^{\circ })=\cos (60^{\circ })=\frac{1}{2}$. (Функция меняется, знак “+”)

5. Основное тригонометрическое тождество

Это фундаментальная формула, связывающая синус и косинус одного и того же угла:

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$

Из него следуют другие полезные тождества:

$$1+{\text{tg}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$$

$$1+{\text{ctg}}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$$

6. Периодичность функций

Тригонометрические функции являются периодическими:

• $\sin (\alpha +2\pi k)=\sin (\alpha )$
• $\cos (\alpha +2\pi k)=\cos (\alpha )$
• $\text{tg}(\alpha +\pi k)=\text{tg}(\alpha )$
• $\text{ctg}(\alpha +\pi k)=\text{ctg}(\alpha )$

где $k$ — любое целое число.

Пример 2: Вычислить $\cos (405^{\circ })$. Угол $405^{\circ }=360^{\circ }+45^{\circ }$. Используя периодичность косинуса: $\cos (405^{\circ })=\cos (360^{\circ }+45^{\circ })=\cos (45^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Изучение тригонометрического круга — это ключ к пониманию многих задач по тригонометрии. Практикуйтесь с ним, и вы увидите, как легко решаются даже сложные примеры!