Отлично! Начинаем готовиться к ОГЭ/ЕГЭ по математике. Сегодня разберем текстовые задачи на проценты.

---

Решение текстовых задач на проценты

1. Что такое процент?

Процент – это одна сотая часть числа. Обозначается знаком $\%$. Если мы говорим “100 рублей”, то 1% от этой суммы – это 1 рубль. Математически это выражается так:

$1\% = \frac{1}{100} = 0.01$

Чтобы найти $P\%$ от числа $A$, нужно число $A$ умножить на $P/100$:

$B = A \cdot \frac{P}{100}$

2. Основные типы задач на проценты

Различают три основных типа задач:

1. Нахождение процента от числа: Дано число и процент, нужно найти часть.
2. Нахождение числа по его проценту: Дана часть числа и сколько процентов она составляет, нужно найти исходное число.
3. Нахождение процентного отношения двух чисел: Даны два числа, нужно найти, сколько процентов одно число составляет от другого.

3. Примеры решения задач

Пример 1: Нахождение процента от числа

Задача: В классе 25 учеников. 40% из них – девочки. Сколько девочек в классе?

Решение: Нам нужно найти 40% от 25. Количество девочек $= 25 \cdot \frac{40}{100} = 25 \cdot 0.4 = 10$.

Ответ: В классе 10 девочек.

Пример 2: Нахождение числа по его проценту

Задача: После повышения цены на 15% товар стал стоить 690 рублей. Сколько стоил товар до повышения цены?

Решение: Пусть $x$ – первоначальная цена товара. Повышение на 15% означает, что новая цена составляет $100\% + 15\% = 115\%$ от первоначальной цены. То есть, $115\%$ от $x$ равно 690 рублей. $x \cdot \frac{115}{100} = 690$ $x \cdot 1.15 = 690$ $x = \frac{690}{1.15}$ $x = 600$

Ответ: До повышения цены товар стоил 600 рублей.

4. Задачи на изменение величины

Часто встречаются задачи, где величина увеличивается или уменьшается на несколько процентов.

• Увеличение на $P\%$: Новая величина $A_{новая} = A_{старая} \cdot (1 + \frac{P}{100})$
• Уменьшение на $P\%$: Новая величина $A_{новая} = A_{старая} \cdot (1 - \frac{P}{100})$

5. Важные моменты для ОГЭ/ЕГЭ

• Внимательно читайте условие: Определите, что дано и что нужно найти.
• Правильно переводите проценты в десятичные дроби: $25\% = 0.25$, $5\% = 0.05$.
• Не путайте “на сколько процентов” и “во сколько раз”: Это разные понятия.
• Используйте пропорции: Многие задачи на проценты удобно решать с помощью пропорций. Например: $\frac{\text{часть}}{\text{целое}} = \frac{\text{процент}}{100}$

---