Отлично! Давайте подготовим конспект для презентации на тему “Геометрический смысл производной и ее применение”.

---

Геометрический смысл производной и ее применение

1. Определение касательной к графику функции

Производная функции является одним из ключевых понятий математического анализа. Прежде чем говорить о её геометрическом смысле, вспомним, что такое касательная к графику функции.

Касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке $A(x_0, f(x_0))$ — это прямая, которая “прикасается” к графику в этой точке, имея с ним одну общую точку в окрестности.

2. Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной заключается в следующем:

Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Это можно записать так:

$f'(x_0) = k$

где $k$ – угловой коэффициент касательной.

Также мы знаем, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси $Ox$. Если $\alpha$ – угол между касательной и осью $Ox$, то:

$k = \text{tg}(\alpha)$

Следовательно:

$f'(x_0) = \text{tg}(\alpha)$

3. Уравнение касательной

Используя геометрический смысл производной, мы можем вывести уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом $k$, проходящей через точку $(x_0, y_0)$, имеет вид:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

Подставляя $y_0 = f(x_0)$ и $k = f'(x_0)$, получаем уравнение касательной:

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

4. Применение производной: возрастание и убывание функции

Производная помогает определить интервалы возрастания и убывания функции.

• Если $f'(x) > 0$ на некотором интервале, то функция $f(x)$ возрастает на этом интервале.
• Если $f'(x) < 0$ на некотором интервале, то функция $f(x)$ убывает на этом интервале.

Пример 1: Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x) = x^2$ в точке $x_0 = 1$.

1. Находим производную функции: $f'(x) = (x^2)' = 2x$.
2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$: $f'(1) = 2 \cdot 1 = 2$.
3. Следовательно, угловой коэффициент касательной равен $k = 2$.

5. Применение производной: точки экстремума

Производная также используется для нахождения точек экстремума (минимума и максимума) функции.

• Если в точке $x_0$ производная $f'(x_0) = 0$ и при переходе через эту точку производная меняет знак с “плюса” на “минус”, то $x_0$ — точка максимума.
• Если в точке $x_0$ производная $f'(x_0) = 0$ и при переходе через эту точку производная меняет знак с “минуса” на “плюс”, то $x_0$ — точка минимума.

Пример 2: Найдите точки экстремума функции $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

1. Находим производную: $f'(x) = (x^2 - 4x + 3)' = 2x - 4$.
2. Приравниваем производную к нулю: $2x - 4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
3. Определяем знаки производной:
   • При $x < 2$, например $x = 0$, $f'(0) = 2 \cdot 0 - 4 = -4 < 0$. Функция убывает.
   • При $x > 2$, например $x = 3$, $f'(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2 > 0$. Функция возрастает.
4. Поскольку производная меняет знак с “минуса” на “плюс” в точке $x=2$, то $x=2$ — точка минимума.

---